高中数学苏教版1本册总复习总复习

学业分层测评(十三)平均变化率(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.在函数变化率的定义中，关于自变量的增量Δx的说法：①Δx＜0；②Δx＞0；③Δx＝0；④Δx≠0.其中正确的是________(填序号).【导学号：24830064】【解析】由平均变化定义知Δx≠0.【答案】④2.函数f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________.【解析】eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(\f(1,2)－1,1)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)3.(2023·徐州高二检测)函数y＝－3x2＋6在区间1,1＋Δx]内的平均变化率是________.【解析】函数在1,1＋Δx]内的平均变化率是eq\f([－31＋Δx2＋6]－－3×12＋6,Δx)＝eq\f(－6Δx－3Δx2,Δx)＝－6－3Δx.【答案】－6－3Δx4.某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值.t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)服药后30～70min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________.【解析】eq\f(c70－c30,70－30)＝eq\f－,40)＝－.【答案】－5.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于________.【解析】由平均速度表示式，函数平均变化率：eq\x\to(v)＝eq\f(3＋Δt2－32,Δt)＝6＋Δt.【答案】6＋Δt6.函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为______.【解析】函数f(x)在(－1,3)上的平均变化率为eq\f(f3－f－1,3－－1)＝eq\f(27－－1,4)＝7.【答案】77.一棵树2015年1月1日高度为4.5m,2016年1月1日高度为4.98m，则这棵树2023年高度的月平均变化率为________.【解析】eq\f－,12)＝.【答案】8.设自变量x的增量为Δx，则函数y＝log2x的增量为________.【解析】函数y＝log2x的增量为log2(x＋Δx)－log2x＝log2eq\f(x＋Δx,x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(Δx,x))).【答案】log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(Δx,x)))二、解答题9.过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝时割线的斜率.【解】∴割线PQ的斜率k＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(Δx3＋3Δx2＋3Δx,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3.设当Δx＝的割线的斜率为k1，则k1＝2＋3×＋3＝.10.求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为eq\f(1,3)，哪一点附近平均变化率最大？【解】在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2时附近的平均变化率为k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3时附近的平均变化率为k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx；若Δx＝eq\f(1,3)，则k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1＜k2＜k3；∴在x＝3附近的平均变化率最大.能力提升]1.已知A，B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速度为30km/h,B车向东行驶，速度为40km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为________.【导学号：24830065】【解析】设经过th两车间的距离为skm，则s＝eq\r(30t2＋40t2)＝50t(km)，增加的速度为eq\f(50t＋Δt－50t,Δt)＝50(km/h).【答案】50km/h 2.函数y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx＞0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是________.【解析】∵k1＝eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(2x0Δx＋Δx2,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(x\o\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝eq\f(2x0Δx－Δx2,Δx)＝2x0－Δx，又∵Δx＞0，∴k1＞k2.【答案】k1＞k23.在高台跳水运动中，运动员相对于水面高度与起跳时间t的函数关系为h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)，下列说法：①eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))－h0,\f(b,2a)－0)＜eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a))),\f(b,a)－\f(b,2a))；②eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)))－h0,\f(b,2a)－0)＝eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a))),\f(b,a)－\f(b,2a))；③eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h0,\f(b,a)－0)＝0；④运动员在0≤t≤eq\f(b,a)这段时间内处于静止状态.其中正确的是________.【解析】利用变化率的几何意义解决h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)的对称轴为t＝eq\f(b,2a)，故heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))＝h(0)，则eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－h0,\f(b,a)－0)＝0.【答案】③4.试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)附近的平均变化率哪一个大？【解】当自变量从0到Δx时，函数的平均变化率为k1＝eq\f(sinΔx－sin0,Δx)＝eq\f(sinΔx,Δx)；当自变量从eq\f(π,2)变到Δx＋eq\f(π,2)时，函数的平均变化率为k2＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝eq\f(cosΔx－1,Δx).由于是在x＝0和x＝eq\f(π,2)的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可以为正，又可以为负.当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；当Δx＜0时，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx)－eq\f(cosΔx－1,Δx)＝eq\f(sinΔx－cosΔx＋1,Δx)＝eq\f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π,4)))＋1,Δx)，∵Δx＜0，∴Δx－eq\f(π,4)＜－eq\f(π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π,4)))＜－eq\f(\r(2),2)，从而有eq\r(