高中数学人教A版第一章解三角形单元测试

河南省示范性高中罗山高中2023届高三数学复习单元过关练：必修五解三角形（理科含解析）1．已知a、b、c是△ABC中A、B、C的对边，且，则△ABC的面积S=（）A、B、2C、3D、42．如果等腰三角形的顶角的余弦值为，则底边上的高与底边的比值为（）A．B．C．D．13．在△ABC中，内角的对边分别是，若，，则（）A．B．C．D．4．在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D.5．在△ABC中，已知，，则的值为（）A、B、C、或D、6．若满足条件C=，AB=，BC=的三角形有两个，则的取值范围是（）C.7．的三个内角所对的边分别为，（）A.B．C．D．8．A为△ABC的内角，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．在中，，则最短边的边长等于（）A. B. C. D.10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东的方向，两船相距海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，甲船为了尽快追上乙船，应取北偏东方向前进，则（）A.B.C.D.11．某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为()(A)15米(B)5米(C)10米(D)12米12．△ABC中,根据下列条件,确定△ABC有两解的是（）=18,b=20,A=120°=60,c=48,B=60°=3,b=6,A=30°=14,b=16,A=45°13．在中，已知，则＝.14．满足的的个数为．15．在中，已知，则=.16．两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．17．（三角形中，，且.（1）求；（2）求.18．在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=(cosA,sinA),n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2.（1）求角A的大小；（2）若b=4,且c=a，求△ABC的面积.19．（（本题满分14分）在锐角中，分别是角所对的边，且（1）确定角的大小；（2）若，求面积的最大值.20．在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1)若，求边的长；(2)求的最大值.21．在△中，、、分别为内角的对边，且.（1）求的大小；（5分）（2）若，判断△的形状.（7分）22．（本小题满分12分）如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD．参考答案1．B【解析】试题分析：由，故，故。选B。考点：本题考查余弦定理、同角三角函数值之间的关系和面积公式。点评：简单题，但综合考查了余弦定理、正弦定理。2．D【解析】设等腰三角形的顶角为，底边上的高为h，底边长为2x，由三角形知识得，∵，∴，∴，∴，∴底边上的高与底边的比值为1，故选D3．C【解析】试题分析：由得，所以，即，所以，又，所以.考点：正弦定理余弦定理点评：此题考查学生灵活运用正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，根据三角函数的值求角，是一道基础题．4．C【解析】试题分析：因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.考点：三角形面积公式.5．A【解析】本题考查三角形内角和定理，同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数,基本运算.因为是三角形内角，又是锐角，所以又所以故选A6．C【解析】故选C.7．A【解析】试题分析：因为，所以，由正弦定理得,即,又，所以，，故选A.考点：正弦定理，两角和与差的三角函数.8．C【解析】略9．D【解析】,【题型】选择题10．B【解析】由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理，可求甲追击的方向；解：如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=tv由正弦定理知BC/sin∠CAB=AC/sinB，（4分）∴sin∠CAB=1/2，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，∴甲追击的方向是北偏东300．（8分）11．C【解析】【思路点拨】作出图形确定三角形,找到要用的角度和边长,利用余弦定理求得.解:如图,设塔高为h米,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h,在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC·CD·cos∠OCD,即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去).【方法技巧】测量高度的常见思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.12．D【解析】考点：．分析：A中，由a=18，b=20，可得B＞A＞120°，故三角形无解．B中，由a=60，c=48，B=60°，再由余弦定理可得b值唯一，故三角形有唯一解．C中，由正弦定理解得sinB=1，B=90°，故三角形有唯一解．D中，由正弦定理可得sinB=＞sin45°，故B可能是锐角，也可能是钝角，故三角形有两解．解：A中，a=18，b=20，故有B＞A＞120°，这与三角形的内角和相矛盾，故三角形无解．B中，∵a=60，c=48，B=60°，由余弦定理可得b=，故三角形有唯一解．C中，a=3，b=6，A=30°，由正弦定理可得=，解得sinB=1，∴B=90°，故三角形有唯一解．D中，a=14，b=16，A=45°，由正弦定理可得=，∴sinB=＞sin45°，故B可能是锐角，也可能是钝角，故三角形有两解．故选D．13．30°【解析】略14．【解析】试题分析：因为，所以满足，那么三角形的个数是2个．考点：判断三角形的个数15．【解析】试题分析：在中,由余弦定理得:,则.考点：解三解形16．45°【解析】在△ACD中，容易求得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，由余弦定理可得cos∠CAD＝＝，所以∠CAD＝45°，即从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°.17．（1）5（2）【解析】试题分析：此题是一个关于解三角形的题，（1）由，可想到用正弦定理求；（2）欲求可想到通过求相应的正、余弦值来求得,由（1）知道了三边可借助余弦定理求解.（1）由正弦定理得：;（2）由余弦定理得,所以.考点：正余弦定理在解三角形中的运用.18．（1）A=（2）16【解析】（1）m+n=(+cosA-sinA,cosA+sinA)|m+n|2=(+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2=2+2(cosA-sinA)+2=4-4sin（A-）∵|m+n|=2,∴4-4sin（A-）=4,sin（A-）=0.又∵0＜A＜,∴-＜A-＜,∴A-=0,∴A=.(2)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA,又b=4,c=a,A=，得a2=32+2a2-2×4×a·,即a2-8a+32=0,解得a=4∴S△ABC=b·csinA=×4×8×sin=16.S△ABC=×(4)2=16.19．（1）又是锐角（2）当且仅当时，的面积有最大值【解析】略 20．（1）.（2）取得最大值.【解析】试题分析：（1）由正弦定理即可得到.（2）由的内角和，及正弦定理得到，将化简为根据角的范围得到时，取得最大值.试题解析：（1）由正弦定理得：.6分（2）由的内角和，，由8分=10分因为，当即时，取得最大值.14分考点：正弦定理的应用，和差倍半的三角函数.21．（1）；（2）顶角为钝角的等腰三角形.【解析】试题分析：（1）求的大小，首先要从条件出发，条件是一个含有边、角混杂的等式，处理它必须归一，观察等式的特点，运用正弦定理化归为边比较简便，然后再考虑运用余弦定理，即可求出角的大小；（2）三角形形状的判断，要么从边考虑，要么从角考虑，通常从角考虑的情形多于从边考虑的情形，此题结合条件和（1）的结论，应从角考虑比较可行，在解三角形问题时，关键是适时用好边角互化及边角归一思想.试题解析：（1）由结合正弦定理得：，即，，，.5分（2）由（1）知，，∴△是等腰三角形.12分考点：1.三角变换；2.解三角形；3.边角互化与边角归一的思想.22．10（3＋）m【解析】试题分析：测量距