最大公因数和最小公倍数的应用

最大公因数和最小公倍数的应用例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

分析

∵

要求的数去除30、60、75都能整除，

∴

要求的数是30、60、75的公因数。

又∵

要求符合条件的最大的数，

∴

就是求30、60、75的最大公因数。

解：（30，60，75）＝15

所以，这个数最大是15。例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

分析

由题意可知，要求求的数是3、4、5的公倍数，且是最小公倍数。

解：∵

[3，4，5]

＝60，

∴

用3、4、5除都能整除的最小的数是60。例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

分析

∵

要截成相等的小段，且无剩余，

∴

每段长度必是120、180、300的公因数；

又∵

每段要尽可能长，

∴

要求的每段长度就是120、180、300的最大公因数。

解：∵

（120，180，300）＝60，

∴

每小段最长60厘米。120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）

答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。

例4.两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？利用“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”）

252×4÷28=36横着看，每行（）个，共有（）个。每份数是（）。竖着看，每列（）个，有（）列，共有（）个。每份数是（）。12是3的倍数，也是4的倍数，是3和4的公倍数。例1.明明用长12厘米，宽8厘米的长方形木条拼成正方形，正方形的边长至少是多少？至少要用这样的木条多少块？已知每份数，求总数，应用公倍数的知识。用每块长12厘米，宽8厘米，要把它们拼成一个正方形，正方形的边长既是12的倍数也是8的倍数，要拼成最小的正方形，就是边长是12和8的最小公倍数，求出边长看每边有几个长，几个宽，就得出一共几块这样的长方形木条．

解：12的倍数有：12，24，36，48，60…，

8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…，

12和8的最小公倍数是24，即拼成的最小的正方形的边长是24厘米，

24÷12=2（块），24÷8=3（块），

需要块数：2×3=6（块）；举一反三明明用一些长6分米、宽4分米的长方形纸板拼成了一个正方形，正方形的边长至少是多少？要用多少块小长方形纸板？2、把一张长18厘米、宽12厘米的长方形剪成边长是整厘米数且同样大小的正方形，小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个？已知总数、求每份数，应用最大公因数的知识。解：小正方形的边长最大值是18、12的最大公约数，

18=2×3×3，12=2×2×3

所以18、12的最大公约数是：2×3=6，

即小正方形的边长最大是6厘米；

（18×12）÷（6×6）或（18÷6）×（12÷6）=216÷36=6（个）=3×2=6（个）

答：小正方形的边长最大是6厘米，可以剪6个．

举一反三贝贝用一块长6分米、宽4分米的长方形纸板裁成若干个边长是整分米数的小正方形，小正方形的边长最大是多少？可以裁成多少块？3、有一些长15厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体积木，用它们拼一个大正方体，正方体的棱长最小是多少？至少要用多少块积木？〖15、12、10〗=6060求的是什么？（60×60×60）÷（15×12×10）=120块将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？25、20、15的最大公约数是：5

所以立方体的最大边长是5分米,体积是：5*5*5=125立方分米

共可以锯：（25*20*15）/125=60个

4、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都可以，上体育课的至少有多少人？已知份数，求总数，应用公倍数的知识。5、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都少1人，上体育课的至少有多少人？〖3、5、6〗=3030－1=29（人）6、暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。7月7日她们都去了敬老院，并约定以后贝贝每隔2天去一次，明明每隔3天去一次。（1）两人下一次在敬老院相遇是几月几日？〖2、3〗=67＋6=13