高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 第三章空间向量与立体几何

第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算学案编号：GEXX2-1T3-1【学习要求】1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律,能借助图形理解空间向量及其运算的意义,掌握空间向量数乘运算的定义和运算律．【学法指导】把平面向量的有关概念和运算推广到空间，空间向量的概念运算与平面向量类似，学习中要结合直观图形，培养空间想象能力.1．空间向量的概念2．空间向量的运算法则如图已知两个不平行的向量a，b，作向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b.这时，O，A，B三点不共线，于是这三点确定一个平面．有以下结论：(1)a＋b＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝________；(2)a－b＝a＋(－b)＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＝_______________；(3)当λ>0时，λa＝eq\o(QP,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))；当λ＝0时，λa＝0；当λ<0时，λa＝eq\o(MN,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→)).所以，平面向量求和的__________法则和______________法则，对空间向量同样成立．3．空间向量的运算律(1)加法交换律：________________；(2)加法结合律：________________________；(3)分配律：___________________，____________________.探究点一空间向量的概念问题1观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))，它们和以前所学的向量有什么不同？问题2向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？问题3若a∥b，b∥c，则a∥c，这个结论对吗？例1给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b，满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD—A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(A1C1,\s\up14(→))；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4跟踪训练1下列说法中正确的是 ()A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))探究点二空间向量的加减运算问题1怎样计算空间两个向量的和与差？问题2使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？例2如图,已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋B′C′.跟踪训练2化简：(1)(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→)))；(2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))．探究点三空间向量的数乘运算问题思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义？例3设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：eq\o(AG,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))．跟踪3如图空间四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点．证明：eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))．【达标检测】1．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，则eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))为()A.eq\o(AD,\s\up14(→)) B.eq\o(BD,\s\up14(→)) C.eq\o(AC,\s\up14(→)) D．02.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的共有 (①eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))与eq\o(OB1,\s\up14(→))＋eq\o(OC1,\s\up14(→))是一对相反向量；②eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))与eq\o(OA1,\s\up14(→))－eq\o(OD1,\s\up14(→))是一对相反向量；③eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))与eq\o(OA1,\s\up14(→))＋eq\o(OB1,\s\up14(→))＋eq\o(OC1,\s\up14(→))＋eq\o(OD1,\s\up14(→))是一对相反向量；④eq\o(OA1,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))与eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OC1,\s\up14(→))是一对相反向量．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，与向量eq\o(AD,\s\up14(→))相等的向量共有________个．4.eq\f(1,2)(2a－2b＋c)－eq\f(1,3)(a＋3b－c)＝____________.5．已知点O是平行六面体ABCD—A1B1C1D1对角线的交点，点P证明：eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＋eq\o(PD,\s\up14(→))＋eq\o(PA1,\s\up14(→))＋eq\o(PB1,\s\up14(→))＋eq\o(PC1,\s\up14(→))＋eq\o(PD1,\s\up14(→))＝8eq\o(PO,\s\up14(→)).【课堂小结】1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，利用平行四边形法则和三角形法则进行．3．空间加法和数乘运算和平面向量一样，满足交换律、结合律、分配律．第三章空间向量与立体几何§空间向量及其运算空间向量的线性运算一、基础过关1．下列说法正确的是 ()A．在平面内共线的向量在空间不一定共线B．在空间共线的向量在平面内不一定共线C．在平面内共线的向量在空间一定不共线D．在空间共线的向量在平面内一定共线2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．空间四边形 B．平行四边形C．等腰梯形 D．矩形3．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连接AM、AG、MG，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于 ()\o(AG,\s\up6(→)) \o(CG,\s\up6(→)) \o(BC,\s\up6(→)) \f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).其中能够化简为向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的是 ()A．①②B．②③C．③④D．①④5．如图，空间四边形OABC，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N是BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c6．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则 ()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向 \o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向7．化简：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则eq\o(B1M,\s\up6(→))＝____________.9.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，则x＝________.二、能力提升10.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.试用a，b，c表示eq\o(AE,\s\up6(→)).11．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O1为A1B1C1D化简：eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→)))．12.如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD—A1B1C1D1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共