高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式 学业分层测评

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是()A．a＋c>b＋d B．a－c>b－dC．ac>bd \f(a,d)>eq\f(b,c)【解析】∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.【答案】A2．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是()A．b－a>0 B．a3＋b3<0C．b＋a>0 －b2<0【解析】a－|b|>0⇒|b|<a⇒－a<b<a⇒a＋b>0.故选C.【答案】C3．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()\f(1,a)>eq\f(1,b) B．2a>2bC．|a|>|b|>0 \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up21(a)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up21(b)【解析】考查不等式的基本性质及其应用．取a＝－2，b＝－1验证即可求解．【答案】B4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么()A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2 ＞ab2＞a【解析】ab2－ab＝ab(b－1)，∵a＜0，－1＜b＜0，∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；又ab2－a＝a(b2－1)，∵－1＜b＜0，∴b2＜1，即b2－1＜0.又a＜0，∴ab2－a＞0，即ab2＞a.故ab＞ab2＞a.【答案】D5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜eq\f(1,a)”的()【导学号：32750004】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵0＜ab＜1，当a＜0且b＜0时可推得b＞eq\f(1,a)，所以“0＜ab＜1”不是“b＜eq\f(1,a)”的充分条件， ①反过来，若b＜eq\f(1,a)，当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”也不是“b＜eq\f(1,a)”的必要条件， ②由①②知，应选D.【答案】D二、填空题6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【解析】f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有________．(填序号)【解析】eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇔eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0⇔eq\f(b－a,ab)<0，∴①②④可推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立．【答案】①②④8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．【解析】设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.【答案】[1,7]三、解答题9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c))；(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).【证明】(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∴0＜－eq\f(1,c)＜－eq\f(1,d).又a＞b＞0，∴－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0，∴eq\r(3,\f(－a,d))＞eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))＞－eq\r(3,\f(b,c)).两边同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c)).(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，求eq\f(x3,y4)的取值范围．【解】由4≤eq\f(x2,y)≤9，得16≤eq\f(x4,y2)≤81. ①又3≤xy2≤8，∴eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3). ②由①×②得eq\f(1,8)×16≤eq\f(x4,y2)·eq\f(1,xy2)≤81×eq\f(1,3)，即2≤eq\f(x3,y4)≤27，因此eq\f(x3,y4)的取值范围是[2,27]．[能力提升]1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜eq\f(1,b)成立，如果a＜0，则b＜0，b＞eq\f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分而不必要条件．【答案】A2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D.①②③【解析】由a＞b＞1，c＜0，得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．【答案】D3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出logbeq\f(1,b)＜logaeq\f(1,b)＜logab成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)【解析】∵logbeq\f(1,b)＝－1，若1＜a＜b，则eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)＜1＜b，∴logaeq\f(1,b)＜logaeq\f(1,a)＝－1，故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，∴logab＞logaeq\f(1,b)＞logaeq\f(1,a)＝－1＝logbeq\f(1,b)，故条件②可以；若0＜a＜1＜b，则0＜eq\f(1,b)＜1，∴logaeq\f(1,b)＞0，logab＜0，条件③不可以．故应填②.【答案】②4．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.【导学号：32750005】【解】由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤a＋c≤－1，,－1≤4a＋c≤5.))设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝eq\f(v－u,3)，c＝eq\f(4u－v,3)，∴f(3)＝9a＋c＝－eq\f(5,3)u＋eq\f(8,3)v.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al