概率论(61~62及例题讲解)

第6章

大数定理和中心极限定理6.1大数定理学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。若随意观察10个学生的身高X1,

X2,…,

X10，则10个数据的均值(X1+X2+…+X10)/10与a较接近；若随意观察100个学生的身高X1,

X2,…,

X100，则100个数据的均值(X1+X2+…+X100)/100与a更接近；若随意观察n个学生的身高X1,

X2,…,

Xn，则n个数据的均值(X1+X2+…+Xn)/n与a随着n的增大而接近；定理1设X1,

X2,…,

Xn是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a，又设它们的方差存在，并记为2，则对任意给定的>0，有意义：随着n的增大，依概率意义讲，越来越接近a而不接近a的可能性越来越小。证明需要用契比雪夫不等式。6.1.1马尔科夫不等式

若Y是只取非负值的随机变量，则对任意常数>0，有证明：

6.1.2契比雪夫不等式

若D(Y)存在，则对任意常数>0，有证明：

定理1的证明：6.1.3伯努利大数定理(频率收敛于概率)设pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率，在每次试验中P(A)=p是常数，则对任意正数>0，有意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。不能说：因为可能有pnp情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。证明：6.2中心极限定理设X1,

X2,…,

Xn是一系列随机变量，通常把论证

和函数X1+X2+…+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”.定理2(林德伯格定理)设X1,

X2,…,

Xn是独立同分布的随机变量，它们有相同均值为E(Xi)=a，它们有相同方差为D(Xi)=2(0<<+),则对任意实数x，有(证明略)说明：和函数Yn=X1+X2+…+Xn

E(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=naD(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=n2

将Yn“标准化”：“标准化”后的和函数的分布函数Fn(x):和函数X1+X2+…+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不

一定是正态分布。

意义：若有无数多种因素X1,

X2,…,

Xn相互影响，每个因素的影响都很小，则所有这些因素的综合影响可认为是Y=X1+X2+…+Xn+…,则这些综合影响的结果呈现出正态分布。

所以在自然界中很多问题都可用正态分布研究。定理3(棣莫弗-拉普拉斯定理)设X1,

X2,…,

Xn是独立同分布(0-1分布)的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

则对任意实数x，有

证明：由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,….

代入定理2的公式，a=p,=有设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0<p<1),Yn~B(n,p).设Xi是第i次试验时A出现的次数，则Xi服从0-1分布，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

Yn=X1+X2+…+Xn

所以定理3的另一种描述方式：定理3的另一说法(棣莫弗-拉普拉斯定理)

设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0<p<1),Yn~B(n,p).

则对任意实数x，有这说明：若Yn服从二项分布B(n,p)，计算P(t1≤Yn≤t2)可用正态分布近似计算。若X1,

X2,…,

Xn是独立的0-1分布的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p(0<p<1)i=1,2,…

计算P(t1≤X1+X2+…+Xn≤t2)可用正态分布近似计算。当n较小时，误差较大，公式可修正为例6-2设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？解：设每天看电影的人编号1,2,3,…,1600,且令

假设各观众去不去电影院是独立选择的。则X1,

X2,…,

X1600是独立的0-1分布的随机变量。设座位数是m，按要求有

P(X1+X2+…+X1600≤m-200)≤0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。解法2：设n=1600人中去新影院的人数为X，每个观众选择去新影院的概率为3/4，则X~B(1600,3/4)设座位数是m，按要求有:P(X≤m-200)≤0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。例（合作问题）设有同类设备200台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求由4个人共同负责维修200台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。解：设Y为200台设备中在同一小时内发生故障的台数，则Y~B(200,0.01)np=2000.01=2,npq=20.99=1.98设备发生故障而不能及时维修的概率=P(Y≥5)

例题讲解一、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为则下列各式正确的是

。X=Y(2)P(X=Y)=1/2(3)P(X=Y)=0(4)P(X=Y)=1解：虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y；P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5选答案(2)二、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X,Y必有

.解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)

由于D(X+Y)=D(X-Y)得2cov(X,Y)=-2cov(X,Y)cov(X,Y)=0

X,Y不相关。三、设随机变量X和Y独立同分布,且P(X=k)=1/3,k=1,2,3

又设X=max(X,Y),Y=min(X,Y).试(1)写出(X,Y)的联合分布律；(2)求E(X)解:(1)由于X=1,2,3,Y=1,2,3所以，X=1,2,3;Y=1,2,3当i>j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=P(X=i,Y=j)+P(X=j,Y=i)=P(X=i)P(Y=j)+P(X=j)P(Y=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9当i=j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=P(X=i,Y=i)=P(X=i)P(Y=i)=(1/3)(1/3)=1/9当i<j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,Y)=i,min(X,Y)=j)=0(X,Y)的联合概率分布律：(2)XY12311/90022/91/9032/92/91/9四、对随机变量X和Y，已知E(X)=-2,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,X与Y的相关系数r=-0.5由契比雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满足不等式P{|X+Y|≥6}≤c)解：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2r=1+4+2(-0.5)12=3P{|(X+Y)-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/62P{|X+Y|≥6}≤3/62=1/12c=1/12五、设某班车起点站上人数X服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求(1)(X,Y)的联合分布律；(2)求Y的分布律解:(1)X~P(),当X=n时，Y~B(n,p)P(Y=k|X=n)=Cnkpk(1-p)n-kk=0,1,2,…,n

当n<k时，P(X=n,Y=k)=0当n≥k时，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n)

(X,Y)的联合分布律为：X=n=0,1,2,3,…Y=k=0,1,2,3,…(2)六、设Xn~B(n,p).(0<p<1,n=1,2,…)则对任意实数x，有解：七、(习题5-2)设X服从几何分布

P(X=k)=pqk(k=0,1,2,…0<p<1,q=1-p)

求EX,DX解：八、(习题5-5)证明：当t=EX时，g(t)=E(X-t)2最小，这个最小值是DX解：g(t)=E(X-t)2

=E(X2-2Xt+t2)=EX2-2tEX+E(t2)=EX2-2tEX+t2=EX2-(EX)2+(EX)2-2tEX+t2=DX+(t-EX)2≥DX当t=EX时，g(t)=DX是最小值.九、(习题5-6)证明：在一次试验中事件A发生的次数X的方差DX≤1/4解：X~B(1,p)