高中数学人教A版第四章圆和方程单元测试 市一等奖

第四章圆与方程测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．点P(2，－3,1)关于坐标原点的对称点是()．A．(－2，－3，－1) B．(－2,3，－1)C．(2，－3，－1) D．(－2,3,1)2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()．A．m>－eq\f(1,2)B．m<－eq\f(1,2)C．m≤－eq\f(1,2) D．m≥－eq\f(1,2)3．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，eq\r(5)C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，eq\r(5)4．（2023陕西文）已知点M(a,b)在圆外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定5．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝()A．－1B．±1C．－2D．±26．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为()A．1 B．2C．3 D．47．两圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程是()A．x＝1 B．x＝eq\f(1,2)C．y＝x D．x＝eq\f(\r(3),2)8．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(2)，则实数a的值为()A．－1或eq\r(3)B．1或3C．－2或6D．0或49．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝110．(2023·成都质检)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C．15eq\r(2) D．20eq\r(2)11点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．3eq\r(5)－5 D．3eq\r(5)＋512．若直线y＝kx－1与曲线y＝－eq\r(1－x－22)有公共点，则k的取值范围是()A．(0，eq\f(4,3)]B．[eq\f(1,3)，eq\f(4,3)]C．[0，eq\f(1,2)]D．[0,1]二、填空题(本大题共６个小题，每小题5分，共３0分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．14.．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2eq\r(3)，则a＝________.16．已知圆(x－2)2＋(y－3)2＝13和圆(x－3)2＋y2＝9交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是________．三、解答题(本大题共6个大题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．20.(本小题满分10分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．21.(本小题满分10分)已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为eq\f(2,5)eq\r(10)时，求实数m的值．22.(本小题满分10分)已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)若点P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)求|MQ|的最大值和最小值.(3)若M(m,n),求QUOTE的最大值和最小值.23.(本小题满分10分)如图所示，某粮食储备库占地呈圆域形状，它的斜对面有一条公路．从储备库中心A向正东方向走1km是储备库边界上的点B，接着向正东方向走2km到达公路上的点C；从A向正北方向走6km到达公路上的另一点D.现准备在储备库的边界上选一点E，修建一条由E通往公路CD的专用线路EF，要求造价最低，用坐标法回答：点E应该选在何处？24.(本小题满分10分)已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，圆的方程．参考答案一、选择题6.Ｂ7.Ｂ8.D9.Ａ11.Ｃ提示：1.点P(2，－3,1)关于坐标原点的对称点是(－2,3，－1)．故选B.2.由题意得1＋1＋4m>0.解得m>－eq\f(1,2).3.圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为eq\r(5).4.点M(a,b)在圆圆的半径为1，,，故直线与圆相交.所以选B.5.因为圆心坐标为(－eq\f(a,2)，0)，所以|－eq\f(a,2)|＝1，所以a＝±2.6.圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径长r2＝2，两圆圆心距为|C1C2|＝eq\r(13)，显然0＜|C1C2|＜4，即|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，所以两圆相交，从而两圆有两条公切线．7.将两圆方程相减可直接求得公共弦所在直线的方程为x＝eq\f(1,2).8.由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝eq\r(2)，故eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4或0.9.设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，连线中点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y0－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2))，代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.10.圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1,3)半径r＝eq\r(10)，由题意知AC⊥BD，且AC＝2eq\r(10)，|BD|＝2eq\r(10－5)＝2eq\r(5)，所以四边形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).11.圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3eq\r(5)－5.12.曲线y＝－eq\r(1－x－22)表示的图形是一个半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是[0,1]，故选D.二、填空题13.－eq\f(7,6)14.eq\f(11,4)＋y－9＝0提示：13.设点P(0，b,0)，则eq\r(1－02＋2－b2＋3－02)＝eq\r(2－02＋－1－b2＋4－02)，解得b＝－eq\f(7,6).14.因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，所以r＝eq\r(5－m)＝eq\f(3,2)，所以m＝eq\f(11,4).15.由(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay－1＝0，又因公共弦长为2eq\r(3)，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即eq\f(|0－1|,\r(a2))＝1.又a＞0，所以a＝1.16.因为弦AB的垂直平分线即两圆的连心线所在的直线，又因为两圆的圆心分别为(2,3)与(3,0)，所以k＝eq\f(3－0,2－3)＝－3，所以l的方程为3x＋y－9＝0.三、解答题19.解：因为AB的中点是(1,3)，kAB＝eq\f(4－2,－1－3)＝－eq\f(1,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.令x＝0，得y＝1，即圆心C(0,1)．所以所求圆的半径为|AC|＝eq\r(12＋4－12)＝eq\r(10).所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.20.解：以D为原点建立如图所示坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．由于M为BD1的中点，所以M(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，取A1C1中点O1，则O1(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，a)，因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N(eq\f(a,4)，eq\f(3,4)a，a)．由两点间的距离公式可得：|MN|＝eq\r(\f(a,2)－\f(a,4)2＋\f(a,2)－\f(3,4)a2＋\f(a,2)－a2)＝eq\f(\r(6),4)a.21.解：(1)因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心为(3,0)．因为直线x－my＋3＝0与圆相切，所以eq\f(|3＋3|,\r(1＋m2))＝2，解得m＝±2eq\r(2).(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq\f(6,\r(1＋m2)).由eq\f(2,5)eq\r(10)＝2eq\r(4－\f(6,\r(1＋m2))2)得，2＋2m2＝20m2－160，解得m2＝9，故m＝±3.22.解：(1)由点P(a,a+1)在圆C上,可得a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,P(4,5).所以|PQ|=QUOTE,kPQ=QUOTE.(2)由圆C：x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8.所以圆心C坐标为(2,7),半径r=.可得|QC|=QUOTE,因此|MQ|max=,|MQ|min=.(3)可知QUOTE表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为：y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则QUOTE=k.由直线MQ与圆C有交点,所以QUOTE≤.可得,所以QUOTE的最大值为,最小值为.23.解：如图所示，分别以直线AC，AD为x轴、y轴建立平面直角坐标系，作圆A的切线GH，使GH∥CD，这时切点就是E点的位置(另一条切线不在考虑之列)，连接AE并延长，交CD于F，则AF⊥CD，由已知，CD的斜率为－eq\f(6,3)＝－2，所以AF的斜率为eq\f(1,2)，AF的方程为y＝eq\f(1,2)x，圆A的方程为x2＋y2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(5),5)，,y＝\f(\r(5),5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2\r(5),5)，,y＝－\f(\r(5),5)，))(舍去)故E点的坐标为(eq\f(2\r(5),5)，eq\f(\r(5),5))．所以E点选在坐标为(eq\f(2\r(5),5)，eq\f(\r(5),5))的点，造价最低．24.解：如下图所示，圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.因为圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，所以∠AP