材料力学课件第10章

第10章变形能法变形能法（能量法）出发点：能量守恒与转换原理。弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W弹性体变形——储存变形能（应变能），U略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒与转换原理，得：外力功=变形能W=U由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法称为变形能法（能量法）。10.1杆件变形能的计算一、基本变形时的变形能⒈轴向拉伸或压缩轴力N是x的函数时⒉扭转扭矩Mn是x的函数时⒊弯曲

纯弯曲

横力弯曲对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。用广义力和广义位移表示变形能可将统一写为二、弹性变形能的主要特征（1）弹性变形能只与力或位移的最终值有关，与加载过程和次序无关。（2）一般情况下，变形能不能叠加。P1单独作用时P2单独作用时P1、P2共同作用时显然，变形能不能叠加的力学本质：一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。从数学观点看：U不是P或者

的线性函数，所以不能叠加。如果构件上有若干载荷，但其中任一种载荷在另一种载荷产生的位移上不做功，则每一种载荷单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。但在某些情况下，变形能可以叠加。如拉扭组合变形时。三、变形能的普遍表达式广义力P1,,Pn

力作用点沿力的方向的 广义位移1,,

n

克拉贝隆原理四、组合变形时的变形能取一微段为研究对象由变形能的普遍表达式，有：例10-1-1

图示平面刚架，已知抗弯刚度与抗拉刚度分别为EI和EA（二者都是常数），试求A端的竖直位移。解：（1）求内力（2）变形能BC

段：AB

段：

（3）由能量守恒求δA上式中的第一项对应弯曲变形引起的位移，第二项对应轴向拉压变形引起的位移。若a=l，且各杆横截面为直径等于d的圆形，l=10d，则上式括号内的第二项小于0.05%，故在求解抗弯杆件结构的变形时，一般可以不考虑轴力的影响。例10-1-2

轴线为平面半圆形曲杆如图示。A端处作用有垂直于轴线所在平面的集中力，试求A端的竖直位移。解：

dd

10.2莫尔定理求任意点C的位移δ一、定理的证明：

Ｃ=1P0Ｃδq(x)

Ｃ0P=1q(x)δ上式即为莫尔定理也称莫尔积分。上式δ也可为转角，此时只需将单位力换成单位力偶即可，故δ是广义的。此法也称为单位载荷法或单位力法。莫尔定理的推广：（1）曲杆的变形小曲率杆（曲率半径与截面高度之比大于5），一般可忽略剪力和轴力的影响。则（2）桁架结构（3）一般情况PABCDE加单位载荷的方法PABCDPABCD求结点C的竖向位移求B截面的转角PABCD求C、E两点的相对位移求铰C两侧截面的相对转角例10-2-1

求图示1/4圆弧形曲梁B端的垂直位移、水平位移和转角。P、R、EI

已知。PABR解：PABRABR（向下）(1)求B端的垂直位移（向左）(2)求B端的水平位移PABRABR（顺时针）(3)求B端的转角PABRABR例10-2-2

圆截面钢架受力如图，整个钢架的抗扭刚度和抗弯刚度分别为GIp和EI，若不计剪力对变形的影响，试求钢架C截面沿竖直方向的位移。BC段：AB段：解：（向下）莫尔积分成为10.3计算莫尔积分的图形互乘法对等截面直杆，EI,GIp

或EA为常量。由于其中：是M图形心点对应的的值。是M图的面积；上述卷积计算法称图乘法。注意：⒈M

图与图在杆的同侧时，图乘为正；在杆的两侧时，图乘为负。⒉若图为折线，需分段图乘。图10-16给出了常用的面积和形心值。例10-3-1

外伸梁受载如图所示。若抗弯刚度EI为常量，试求外伸端C的挠度。例10-3-2

带中间铰的静定量（也称为子母梁）结构受载如图示。已知抗弯刚度EI为常量，试求中间铰C两侧截面的相对转角。10.4卡氏定理即：变形能对任一载荷的偏导数等于该载荷作用点沿载荷作用方向的位移。这是意大利工程师卡斯提列诺(AlbertoCastigliano，1847～1884)在1873年提出来的，也称卡氏第二定理。证明：P1P2Pnδ1δ2δn(a)P1P2dPn+Pnδ2δnδ1(b)(a)图：若给Pn

以增量dPn

，则：改变加载次序，先加dPn，然后再作用P1、

P2、…，则：(b)图：忽略二阶微量，即可得：P1P2Pnδ1δ2δnP1P2dPn+Pnδ2δnδ1(a)(b)注意：式中的位移和力均是广义的。由U1=U2，则：卡氏第二定理卡氏定理的几种常用形式

桁架设有m根杆，则变形能为:交换求导和积分的次序，有

直梁弯曲曲杆弯曲

组合变形例10-4-1

结构如图，试求A截面的挠度和转角。(1)求A截面的挠度AlPEI解：x(2)求A截面的转角没有与A向相对应的力（广义力），需加一附加力MfMfAlPEIxMfAlPEIx“负号”说明

A与所加广义力Mf方向相反。令得：注意：通常在积分前即令Mf=0，可使积分简单。例10-4-２

轴线为四分之一圆周的平面曲杆，曲杆的A端固定，自由端B上作用有竖直集中力P，求B点的竖直和水平位移。已知抗弯刚度EI为常量。(1)求B点的竖直位移δBV解：（向下）APBR（向右）APBRPf(2)求B点的水平位移δBH在B点附加一水平力Pf一、功的互等定理10.5功的互等定理和位移互等定理P1P212(c)（先作用P1，再作用P2）P1P212(d)（先作用P2，再作用P1）P112(a)P212(b)(c)图(d)图由U1=U2，得此即功的互等定理：载荷P1在由载荷P2引起的相应位移上所做的功，等于载荷P2在由载荷P1引起的相