高中数学人教B版1第三章导数及其应用3．1导数 第3章3

3．1导数3．函数的平均变化率3．瞬时速度与导数1．理解函数在某点附近的平均变化率．(重点)2．会求函数在某点处的导数．(难点)3．了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1变化率问题阅读教材P75～P76例1以上，完成下列问题．函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零．()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．()(3)eq\f(Δy,Δx)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．()【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2导数的概念阅读教材P78～P81例以上部分，完成下列问题．1．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．2．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()(4)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0.()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]平均变化率(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝时平均变化率的值为________．(2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)＝________.【导学号：25650096】【自主解答】(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝时，函数y＝3x2＋2在区间[2,]上的平均变化率为6×2＋3×＝.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－Δx2＋3Δx,Δx)＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx(2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1．计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．2．计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3．得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).[再练一题]1．求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为eq\f(1,3)，在哪一点附近平均变化率最大？【解】在x＝1附近的平均变化率为：k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.若Δx＝eq\f(1,3)，则k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求瞬时速度若一物体的运动方程为s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3))(路程单位：m，时间单位：s)．求：(1)物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度；(2)物体在t＝1s时的瞬时速度．【精彩点拨】根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解【自主解答】(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2s，所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3Δt2－12Δt,Δt)＝(3Δt－12)(m/s)，则物体在t＝1s时的瞬时速度为eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3Δt－12)＝－12(m/s)．求物体瞬时速度的步骤1．设非匀速直线运动的规律s＝s(t)．2．求时间改变量Δt和位置改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．3．求平均速率eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).4．计算瞬时速率：当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→v(常数)．[再练一题]2．质点M按规律s＝2t2＋3作直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．求质点M在t＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度．【解】v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(2×2＋Δt2－2×22,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(2Δt＋8)＝8(cm/s)，eq\x\to(v)＝eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(2×32＋3－2×12＋3,2)＝8(cm/s)．[探究共研型]函数在某点处的导数探究导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．(1)求函数y＝eq\r(x)在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数．【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解．【自主解答】(1)Δy＝eq\r(1＋Δx)－1，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y′|x＝1＝eq\f(1,2).(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝(2x＋a)＋Δx，eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1．求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率eq\f(Δy,Δx)时，要注意对eq\f(Δy,Δx)的变形与约分，变形不彻底可能导致eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)不存在；(2)当对eq\f(Δy,Δx)取极限时，一定要把eq\f(Δy,Δx)变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．[再练一题]3．求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数.【导学号：25650097】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为2.[构建·体系]1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝时，Δy的值为()A． B．C． D．【解析】∵x＝2，Δx＝，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f－f(2)＝＋1)－(22＋1)＝.【答案】B2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝a＋b·Δx，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(a＋b·Δx)＝a.【答案】C3．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________．【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(2Δt2＋8Δt,Δt)