高中数学苏教版第二章平面解析几何初步单元测试【全国一等奖】

2．平面上两点间的距离在一条直线型的河流l的同侧有两个村庄A、B.现在要在河流旁边共建造一水厂C向两个村庄供水，要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当建在什么地方？我们知道平面上两点间的连线的长中线段的长最短，那么，应当铺设的管道最短是多少？1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．特别，当直线P1P2垂直于y轴时，P1P2＝|x2－x1|；当直线P1P2垂直于x轴时，P1P2＝|y2－y1|；当P1，P2中有一个是原点时，则有OP＝eq\r(x21＋y21)_或OP＝eq\r(x22＋y22)．2．利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步骤可归纳为：第一步，建立坐标系用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何关系．,两点间的距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别：当直线P1P2垂直于y轴时，P1P2＝|x2－x1|；当直线P1P2垂直于x轴时，P1P2＝|y2－y1|；当P1，P2中有一个是原点时，则有OP＝eq\r(x21＋y21)或OP＝eq\r(x22＋y22).两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理会用坐标法解决几何问题的基本思路．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)知识点一两点间距离公式的正用1．已知点A(1，3)，B(2，6)，则AB等于________．解析：AB＝eq\r(（1－2）2＋（3－6）2)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)2．三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(3，7)、B(5，－1)、C(－2，－5)，则AB边中线CD的长是________．解析：由中点公式求出AB边的中点D的坐标为(4，3)，再由两点间的距离公式求出CD.答案：103．光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0以后，再反射到一点B(2，15)．(1)求入射线与反射线的方程；(2)求这条光线从A到B的长度．解析：(1)设点A关于直线l的对称点为A1(x0，y0)，由直线AA1与已知直线垂直，且AA1中点也在直线上，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－5,x0＋3)＝－\f(4,3)，,3×\f(x0－3,2)－4×\f(y0＋5,2)＋4＝0，))解得x0＝3，y0＝－3，即A1(3，－3)．于是反射光线方程为eq\f(y＋3,15＋3)＝eq\f(x－3,2－3)，即18x＋y－51＝0.同理B1(14，－1)，入射光线方程为6x＋17y－67＝0.(2)光线从A到B的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝eq\r(（3－2）2＋（－3－15）2)＝5eq\r(13).知识点二两点间距离公式的逆用4．已知点M(a，0)到点A(5，12)的距离为13，则a的值为________．解析：由两点间的距离公式得eq\r(（5－a）2＋（12－0）2)＝13，解得a＝0或10.答案：0或105．与两点A(－2，2)、B(2，4)等距离，且在坐标轴上的点的坐标是________．解析：设点P(a，0)或(0，b)由两点间的距离公式计算．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))和(0，3)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一两点间距离公式的综合应用6．已知A(5，2a－1)、B(a＋1，a－4)，则AB的最小值是________解析：由两点间的距离公式得AB＝eq\r(（a－4）2＋（a－4－2a＋1）2)＝eq\r(2a2－2a＋25)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(49,2))≥eq\f(7\r(2),2).答案：eq\f(7\r(2),2)7．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为________．解析：A(－3，5)关于x轴对称点A′(－3，－5)，故A到B的距离即为A′B＝eq\r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝eq\r(250)＝5eq\r(10).答案：5eq\r(10)8．过点P(2，1)作直线l交x，y正半轴于A，B两点，当PA·PB取到最小值时，求直线l的方程．解析：设直线l的方程为：y－1＝k(x－2)(k≠0)，令y＝0，解得x＝2－eq\f(1,k)；令x＝0，解得y＝1－2k.∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0，1－2k)．∴PA·PB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))（4＋4k2）)＝eq\r(8＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2))))≥eq\r(8＋4×2)＝4.当且仅当k2＝1即k＝±1时，PA·PB取到最小值．又根据题意k＜0，∴k＝－1.所以直线l的方程为：x＋y－3＝0.综合点二两点间距离公式在几何证明题中的应用9．已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)．求证：△ABC为等腰直角三角形．证明：根据两点间距离公式可得：AB＝eq\r(（－3－3）2＋（1＋3）2)＝2eq\r(13)，BC＝eq\r(（3－1）2＋（－3－7）2)＝2eq\r(26)，CA＝eq\r(（－3－1）2＋（1－7）2)＝2eq\r(13)，∴AB＝CA，且AB2＋CA2＝BC2.故△ABC为等腰直角三角形．综合点三两点间距离公式在实际生活中的应用10．甲船在某港口东50km，乙船在同一港口的东14km，南18km处，解析：以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50，0)，乙船坐标为(14，－18)，由两点间距离公式得甲、乙两船的距离为eq\r(（50－14）2＋（0＋18）2)＝18eq\r(5).答案：1811．已知0<x<1，0<y<1.求证：eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x2＋（1－y）2)＋eq\r(（1－x）2＋y2)＋eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)≥2eq\r(2)，并求等号成立的条件．证明：设四边形OABC是正方形，O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)，设P(x，y)为正方形内一点，如下图，PO＝eq\r(x2＋y2)，PA＝eq\r(（1－x）2＋y2)，PB＝eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)，PC＝eq\r(x2＋（1－y）2)，OB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(2).因为PO＋PB≥BO，PA＋PC≥AC，所以PO＋PB＋PA＋PC≥BO＋