高中数学人教A版第一章三角函数 任意角的三角函数学案

2023学年高一年级数学导学案（2023学年高一年级数学导学案（32）班级姓名学号编写：赵海通审阅：侯国会§1.2.1任意角的三角函数（1）2．借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．3．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．学习重点：任意角的三角函数学习难点：理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号【学法指导】1．在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念．2．紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律以及诱导公式一的记忆．3．理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.一．知识导学1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作，即；②x叫做α的，记作，即；③eq\f(y,x)叫做α的，记作，即．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值，即：sin(α＋k·2π)＝，cos(α＋k·2π)＝，tan(α＋k·2π)＝，其中k∈Z.二．探究与发现【探究点一】锐角三角函数的定义问题1Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值．问题2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？问题3如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝，cosα＝，tanα＝.【探究点二】任意角三角函数的概念关于任意角三角函数的定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．根据相似三角形对应边成比例．可知这两种定义方法本质上是一致的．问题1单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．问题2终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___(x≠0)，其中r＝eq\r(x2＋y2)>0.问题3由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上P点的位置无关．请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的．问题4利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.角α0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)sinαcosαtanα【探究点三】三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．(1)sinα＝eq\f(y,r)(r>0)，因此sinα的符号与y的符号相同，当α的终边在第象限时，sinα>0；当α的终边在第象限时，sinα<0.(2)cosα＝eq\f(x,r)(r>0)，因此cosα的符号与x的符号相同，当α的终边在第象限时，cosα>0；当α的终边在第象限时，cosα<0.(3)tanα＝eq\f(y,x)，因此tanα的符号由x、y确定，当α终边在第象限时，xy>0，tanα>0；当α终边在第象限时，xy<0，tanα<0.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．【探究点四】诱导公式一由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等．由此得到诱导公式一：sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，tan(k·360°＋α)＝tanα，其中k∈Z，或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，其中k∈Z.诱导公式一的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值．例如：sin420°＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)；cos(－330°)＝＝；tan(－315°)＝＝.【典型例题】例1．已知角α的终边上一点P(－15a,8a)(a∈R且a≠0)，求α跟踪训练1。已知角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.例2．求下列各式的值．(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.跟踪训练2。求下列各式的值．(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,3)))＋taneq\f(17π,4)；(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°.例3．判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；(2)sin285°cos(－105°)；(3)sin3·cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))).小结准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．跟踪训练3。(1)若sinαcosα<0，则α是第_________象限角．(2)代数式：sin2·cos3·tan4的符号是________．三．巩固训练1．sin(－1380°)的值为 ()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)2．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于()\f(1,2) B．－eq\f(1,2) C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝eq\f(3,5)，则tanα等于 ()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4) C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)4．如果sinx＝|s