高中数学苏教版2第一章导数及其应用 省赛获奖

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y＝－2exsinx的导数y′＝________.【解析】y′＝(－2ex)′sinx＋(－2ex)·(sinx)′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．【答案】－2ex(sinx＋cosx)2．函数f(x)＝xe－x的导数f′(x)＝________.【解析】f′(x)＝x′·e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.【答案】(1－x)e－x3．函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，则f′(3π)＝________.【解析】因为f′(x)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))′＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，所以f′(3π)＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,4)))＝－eq\f(1,2)sineq\f(5π,4)＝eq\f(\r(2),4).【答案】eq\f(\r(2),4)4．曲线C：f(x)＝ex＋sinx＋1在x＝0处的切线方程是________．【解析】∵f′(x)＝ex＋cosx，∴k＝f′(0)＝2，切点为(0,2)，切线方程为y＝2x＋2.【答案】y＝2x＋25．(2023·东营高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________.【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.【答案】－46．(2023·佛山高二检测)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.【解析】y′＝k＋eq\f(1,x)，则曲线在点(1，k)处的切线的斜率为k＋1，∴k＋1＝0，∴k＝－1.【答案】－17．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．【解析】设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．又y′＝eq\f(x＋a′,x＋a)＝eq\f(1,x＋a)及导数的几何意义，∴eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.因此，y0＝ln(x0＋a)＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.【答案】28．(2023·广州高二检测)若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.【解析】∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x，∴y′＝(－cos2x)′＝－(－sin2x)·(2x)′＝2sin2x.【答案】2sin2x二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝eq\r(1－2x2)；(2)y＝esinx；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))；(4)y＝5log2(2x＋1)．【解】(1)设y＝u，u＝1－2x2，则y′＝(u)′(1－2x2)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)u－\f(1,2)))·(－4x)＝eq\f(1,2)(1－2x2)(－4x)＝eq\f(－2x,\r(1－2x2)).(2)设y＝eu，u＝sinx，则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx.(3)设y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝yu′·ux′＝eq\f(10,uln2)＝eq\f(10,2x＋1ln2).10．求曲线y＝2sin2x在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线方程．【解】因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sinx×(sinx)′＝2×2sinx×cosx＝2sin2x，所以y′|x＝eq\f(π,6)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)))＝eq\r(3).所以过点P的切线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即eq\r(3)x－y＋eq\f(1,2)－eq\f(\r(3)π,6)＝0.能力提升]1．若f(x)＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))等于________．【解析】∵f′(x)＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(1,1＋sin\f(π,2))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．(2023·江西高考)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.【导学号：01580010】【解析】令f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝elne＝e，∴点P的坐标为(e，e)．【答案】(e，e)3．已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在(2，g(2))处的切线方程为________．【解析】由题意知，f(2)＝3，f′(2)＝2，则g(2)＝4＋f(2)＝7.∵g′(x)＝2x＋f′(x)，∴g′(2)＝4＋f′(2)＝6.∴函数g(x)在(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6×(x－2)，即6x－y－5＝0.【答案】6x－y－5＝04．已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．【解】(1)f′(x)＝1－eq\f(a,ex)，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－eq\f(a,e)＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋eq\f(1,ex)，f