高中数学北师大版1第一章直线多边形圆【省一等奖】

学业分层测评(三)直角三角形的射影定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6cm和4cm，则斜边上的高是()cm \r(6)cmcm cm【解析】设斜边上的高是xcm，由射影定理得，x2＝6×4＝24，∴x＝2eq\r(6).【答案】B2.一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为cm，则这个直角三角形的面积为()cm2cm2cm2 cm2【解析】长为3cm的直角边在斜边上的射影为eq\r(32－＝(cm)，故由射影定理，知斜边长为eq\f(32,＝5(cm)，所以三角形的面积为eq\f(1,2)×5×＝6(cm2).【答案】A3.如图1­1­65所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高，已知BD＝4，AB＝29，则BC＝()图1­1­65\r(29) \r(29)\r(29) \r(29)【解析】因为BD＝4，AB＝29，由直角三角形的射影定理有BC2＝BD·AB＝4×29，即BC＝2eq\r(29).【答案】B4.如图1­1­66，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝12，BC＝5，则CD的长为()图1­1­66\f(50,13) \f(60,13)\f(70,13) \f(120,13)【解析】AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(122＋52)＝13，∵AD·AB＝AC2，BD·AB＝BC2，∴AD＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(144,13)，BD＝eq\f(BC2,AB)＝eq\f(25,13).又CD2＝AD·BD，∴CD＝eq\r(AD·BD)＝eq\f(60,13).【答案】B5.设直角三角形ABC的直角边AB＝2，AC＝2eq\r(3)，那么它们在斜边BC上的射影的长依次为(),2eq\r(3) ,3,3 ,12【解析】两直角边在BC上的射影分别为BD，CD.由射影定理知：AB2＝BD·BC，BD＝eq\f(AB2,BC)＝eq\f(4,4)＝1，同理CD＝eq\f(AC2,BC)＝eq\f(12,4)＝3.【答案】C二、填空题6.如图1­1­67，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，则CD的长为__________.图1­1­67【解析】在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，满足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°，∴∠C＋∠B＝90°，∴∠BAC＝90°，∴在Rt△BAC中，AD⊥BC，由射影定理可知，AD2＝BD·CD，∴62＝8×CD，∴CD＝eq\f(9,2).【答案】eq\f(9,2)7.△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝6，BD＝12，则AB2∶AC2＝__________.【导学号：96990012】【解析】如图，AB2＝AD2＋BD2，AB＝6eq\r(5)，由射影定理可得，AB2＝BD·BC，BC＝eq\f(AB2,BD)＝15.∴CD＝BC－BD＝15－12＝3.由射影定理可得，AC2＝CD·BC.∴eq\f(AB2,AC2)＝eq\f(BD·BC,CD·BC)＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(12,3)＝4.【答案】48.如图1­1­68，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝，则BC＝__________.图1­1­68【解析】由射影定理得：AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴eq\f(AC2,BC2)＝eq\f(AD,BD)，即BC2＝eq\f(AC2·BD,AD).而BD＝eq\r(AC2＋BC2)－AD＝eq\r(36＋BC2)－，∴BC2·AD＝AC2·(eq\r(36＋BC2)－，＝36eq\r(36＋BC2)－×36，解得BC＝8.【答案】8三、解答题9.已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长.【解】(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20cm,12cm,16cm.(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(122,20)＝eq\f(36,5)(cm)；同理：BF＝eq\f(BC2,AB)＝eq\f(162,20)＝eq\f(64,5)(cm).∴两直角边在斜边上的射影长分别为eq\f(36,5)cm，eq\f(64,5)cm.10.如图1­1­69，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，且AE＝eq\f(1,4)AD，N是AB的中点，NF⊥CE于F.图1­1­69求证：FN2＝EF·FC.【证明】分别连接NE，NC.设正方形的边长为a.∵AE＝eq\f(1,4)a，AN＝eq\f(1,2)a，∴NE＝eq\r(\f(a2,16)＋\f(a2,4))＝eq\f(\r(5)a,4).∵BN＝eq\f(1,2)a，BC＝a，∴NC＝eq\r(\f(a2,4)＋a2)＝eq\f(\r(5)a,2).∵DE＝eq\f(3,4)a，DC＝a，∴EC＝eq\r(\f(9a2,16)＋a2)＝eq\f(5a,4).∴NE2＝eq\f(5a2,16)，NC2＝eq\f(5a2,4)，EC2＝eq\f(25a2,16)，∴NE2＋NC2＝eq\f(25a2,16)，∴NE2＋NC2＝EC2，∴EN⊥CN，∴FN2＝EF·FC.能力提升]1.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为()【导学号：96990013】∶3 ∶9\r(6)∶3 D.不确定【解析】如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，即eq\f(CD,AD)＝eq\f(BD,CD).又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝eq\r(6)x.∴△ACD与△CBD的相似比为eq\f(AD,CD)＝eq\f(2x,\r(6)x)＝eq\f(\r(6),3)，即相似比为eq\r(6)∶3.【答案】C2.如图1­1­70，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中，一定能确定△ABC为直角三角形的个数为()图1­1­70①∠1＝∠A； ②eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,CD)；③∠B＋∠2＝90°； ④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5 【解析】①能.∵∠1＋∠B＝90°，若∠1＝∠A，则∠A＋∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形.②能.若eq\f(CD,AD)＝eq\f(DB,CD)，则CD2＝AD·BD.∴AB2＝(AD＋BD)2＝AD2＋BD2＋2AD·BD＝AD2＋BD2＋2CD2＝(AD2＋CD2)＋(BD2＋CD2)＝AC2＋BC2，∴△ABC为直角三角形.③不能.∠B＋∠2＝90°，又∠B＋∠1＝90°，则∠1＝∠2，并不能得到△ABC为直角三角形.④能.设BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，则AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形.【答案】C3.已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________.【解析】如图，过C点作CE⊥AB于E.在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝8cm，∴BE＝cm，AE＝cm.∴CE＝eq\r×＝(cm)，∴AD＝cm.又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝cm.∴S梯形ABCD＝eq\f(10＋×,2)＝(cm2).【答案】cm24.已知如图1­1­71，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.图1­1­71求证：