高中数学苏教版第二章平面向量（全国一等奖）

学业分层测评(十九)平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若点P的坐标为(2016,2)，向量eq\o(PQ,\s\up10(→))＝(1，－3)，则点Q的坐标为________．【解析】∵eq\o(PQ,\s\up10(→))＝eq\o(OQ,\s\up10(→))－eq\o(OP,\s\up10(→))，∴eq\o(OQ,\s\up10(→))＝eq\o(OP,\s\up10(→))＋eq\o(PQ,\s\up10(→))＝(2016,2)＋(1，－3)＝(2017，－1)．【答案】(2017，－1)2．(2023·如东高一检测)若向量eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up10(→))＝(4,7)，则eq\o(BC,\s\up10(→))＝________.【解析】eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．【答案】(－2，－4)3．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝3a，则点B的坐标为________．【解析】设B点坐标为(x，y)，则eq\o(AB,\s\up10(→))＝(x＋1，y－5)，∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝3a，∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝6，,y－5＝9，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝14.))【答案】(5,14)4．若向量a＝(x＋3，y－4)与eq\o(AB,\s\up10(→))相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为________．【解析】∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x＋3，y－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝4.))【答案】－1,45．已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.【解析】由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，∴2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a＝(3,5)，2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．【答案】(3,5)(－2，－2)6.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝2，∠xOA＝150°，则向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐标为________．图2­3­16【解析】过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|cos150°＝－eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|sin150°＝1.所以eq\o(OA,\s\up10(→))的坐标为(－eq\r(3)，1)．【答案】(－eq\r(3)，1)7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up10(→))，则P点的坐标为________.【导学号：06460056】【解析】设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up10(→))＝(x－3，y＋2)，eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))∴P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))8．已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正向上，则向量2eq\o(AB,\s\up10(→))＋3eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))的坐标为________．【解析】∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝(1,0)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(0,1)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝(1,1)，∴2eq\o(AB,\s\up10(→))＋3eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)．【答案】(3,4)二、解答题9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up10(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求x的值；(2)已知点P1(2，－1)，P2(0,5)，点P在线段P1P2上且|eq\o(P1P,\s\up10(→))|＝2|eq\o(PP2,\s\up10(→))|，求P点的坐标．【解】(1)∵eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,0)，又∵a＝eq\o(AB,\s\up10(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))∴x＝－1.(2)设P(x，y)，则eq\o(P1P,\s\up10(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(PP2,\s\up10(→))＝(－x,5－y)，∵点P在线段P1P2上且|eq\o(P1P,\s\up10(→))|＝2|eq\o(PP2,\s\up10(→))|，∴eq\o(P1P,\s\up10(→))＝2eq\o(PP2,\s\up10(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝－2x，,y＋1＝25－y，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝3，))∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，3)).10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求eq\o(DF,\s\up10(→)).【解】因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4，－3)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，有eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－4))，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，故有eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，2)).能力提升]1．(2023·南通高一检测)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(1,3)，则eq\o(BD,\s\up10(→))＝________.【解析】由向量的平行四边形法则可知eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))，∴eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．【答案】(－3，－5)2．(2023·苏州高一检测)已知P1(5，－1)，P2(－3,1)，点P(x,2)分eq\o(P1P2,\s\up10(→))所成的比为λ，则x的值为________．【解析】∵y＝eq\f(y1＋λy2,1＋λ)，∴2＝eq\f(－1＋λ,1＋λ)，解得λ＝－3.所以x＝eq\f(x1＋λx2,1＋λ)＝eq\f(5＋－3×－3,1＋－3)＝－eq\f(14,2)＝－7.【答案】－73．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于________．【解析】令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3λ1＝－2＋4λ2，,2＋4λ1＝－2＋5λ2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝0，))故M与N只有一个公共元素是(－2，－