统计学第8章时间序列分析和预测

第八章时间序列分析和预测作者：中国人民大学统计学院贾俊平PowerPoint统计学第八章时间序列分析和预测第一节时间序列的概念和种类第二节时间序列的描述性分析第三节时间序列预测的程序和方法第一节时间序列的概念和种类

一、时间序列的概念和构成要素二、时间序列的种类（一）按时间序列中的数据形式不同，可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列（二）按时间序列中的数据稳定性不同分为平稳序列和非平稳序列一、时间序列(timesseries)的概念和组成1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2. 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成3. 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式年份国内生产总值（亿元）年份国内生产总值（亿元）199019911992199319941995199619971998199918667.821781.526923.535333.948197.960793.771176.678973.084402.389677.1

20002001200220032004200520062007200899214.6109655.2120332.7135822.8159878.3183867.9210871.0246619.0*300670.0*

要素一：时间t要素二：指标数值a按数列中所排列指标的表现形式不同分为：绝对数数列相对数数列平均数数列（平均指标数列）（相对指标数列）时点数列时期数列时间数列的种类（总量指标数列）时间序列的分类时间序列的分类平稳序列(stationaryseries)基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的非平稳序列(non-stationaryseries)有趋势的序列线性的，非线性的有趋势、季节性和周期性的复合型序列时间序列的成分时间序列的成分趋势T季节性S周期性C随机性I线性趋势非线性趋势时间序列的成分趋势(trend)持续向上或持续下降的状态或规律季节性(seasonality)也称季节变动(Seasonalfluctuation)时间序列在一年内重复出现的周期性波动

周期性(cyclity)

也称循环波动(Cyclicalfluctuation)围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动

随机性(random)

也称不规则波动(Irregularvariations)除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动

含有不同成分的时间序列平稳趋势季节季节与趋势第二节时间序列的描述性分析一、图形描述二、水平指标分析（一）发展水平和平均发展水平(不作要求)（二）增长量和平均增长量三、速度指标分析（一）发展速度和增长速度（二）平均发展速度和平均增长速度一、图形描述图形描述

(例题分析)图形描述

(例题分析)二、水平指标分析

（一）发展水平和平均发展水平（二）增长量和平均增长量

发展水平指时间数列中每一项指标数值设时间数列中各期发展水平为：或：最初水平中间水平最末水平（n项数据）（n+1项数据）上一页下一页（一）发展水平和平均发展水平发展水平指时间数列中每一项指标数值设时间数列中各期发展水平为：或：最初水平中间水平最末水平（n项数据）（n+1项数据）上一页下一页（一）发展水平和平均发展水平平均发展水平又叫序时平均数，是把时间数列中各期指标数值加以平均而求得的平均数一般平均数与序时平均数共同点：具有抽象性和代表性区别：计算的依据不同：前者是根据变量数列计算的，后者则是根据时间数列计算的；

说明的内容不同：前者表明总体内部各单位的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。上一页下一页序时平均数的计算方法⒈计算绝对数时间数列的序时平均数⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法式中：代表平均发展水平

a１，a２，a３，···aｎ代表各期发展水平

n代表时期项数上一页下一页下一问题我国“十五”期间的每年GDP【例】

我国“十五”期间的年平均GDP：年份20012002200320042005GDP（亿元）109655120333135823159878183868上一页下一页⑵由时点数列计算①由连续时点数列计算对于逐日记录的时点数列可视其为连续

※间隔相等时，采用简单算术平均法序时平均数的计算方法上一页下一页例：已知某企业一个月内每天的工人数，如果计算该月每天平均工人数，则将每天工人数相加之和除以该月的日历天数即可⑵由时点数列计算①由连续时点数列计算

※间隔不相等时，采用加权算术平均法对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次序时平均数的计算方法上一页下一页某企业5月份每日实有人数资料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日实有人数

780784786783解：【例】上一页下一页②由间断时点数列计算每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值

※间隔相等

时，采用首末折半法一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初序时平均数的计算方法上一页下一页

※间隔不相等

时，采用加权序时平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初上一页下一页时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数362390416420单位：万人某地区2007年社会劳动者人数资料如下：【例】解：则该地区该年的月平均人数为：上一页下一页⒉计算相对数或静态平均数时间数列的序时平均数基本公式⑴a、b均为时期数列时序时平均数的计算方法上一页下一页月份一二三计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（﹪）125120150某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下：因为所以，该厂一季度的计划平均完成程度为：【例】上一页下一页⑵a、b均为时点数列时⑶a为时期数列、b为时点数列时上一页下一页月份三四五六七工业增加值（万元）11001260146016301800月末全员人数（人）20002000220022002300【例】已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。

上一页下一页四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的劳动生产率：上一页下一页③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：上一页下一页序时平均数的计算方法3.计算动态平均数时间数列的序时平均数当各动态平均数的计算时期或间隔相同时，用简单算术平均数计算：当各动态平均数的计算时期或间隔不相同时，用加权算术平均数计算：上一页下一页一、发展速度和增长速度二、平均发展速度和平均增长速度时间数列的速度指标上一页下一页发展速度指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的发展程度和方向。设时间数列中各期发展水平为：环比发展速度定基发展速度（年速度）（总速度）上一页下一页环比发展速度与定基发展速度的关系：上一页下一页年距发展速度增长速度指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度上一页下一页环比增长速度定基增长速度年距增长速度说明发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。上一页下一页（二）增长量和平均增长量三、速度指标分析

（一）发展速度和增长速度（二）平均发展速度和平均增长速度发展速度指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的发展程度和方向。设时间数列中各期发展水平为：环比发展速度定基发展速度（年速度）（总速度）上一页下一页环比发展速度与定基发展速度的关系：上一页下一页年距发展速度增长速度指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度上一页下一页环比增长速度定基增长速度年距增长速度说明发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。上一页下一页定基增长速度与环比增长速度之间的换算：环比增长速度+1环比发展速度定基增长速度定基发展速度∏－1【例】已知某厂的产量2007年比2005年增长150%，2008年比2005年增长180%，请计算2008年比2007年增长多少？解：即2008年比2007年产量增长12%。上一页下一页增长1%的绝对值指现象每增长1﹪所代表的实际绝对数量定基增长速度增长1%的绝对值环比增长速度增长1%的绝对值上一页下一页各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度平均发展速度平均增长速度说明现象逐期增长的平均程度上一页下一页平均发展速度的计算⑴几何平均法（水平法）即有：从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到最末水平an，有基本要求上一页下一页计算公式⑴几何平均法（水平法）平均发展速度的计算总速度环比速度上一页下一页【例】某省外贸出口额环比发展速度资料如下：年份20012002200320042005出口额环比发展速度%103.9100.995.5101.6108平均发展速度为：平均增长速度为：上一页下一页有关指标的推算:几何平均法（水平法）推算最末水平an

：上一页下一页【例】2004年某厂生产水泥6万吨，计划此后每年产量增长10%，计算2009年该厂水泥产量将达到多少？

上一页下一页平均发展速度的计算⑵方程法（累计法）从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，各期推算水平之和等于各期实际水平之和基本要求上一页下一页由基本要求有，各期推算水平分别为（该一元n次方程的正根即为平均发展速度）即：上一页下一页【例】某公司2006年实现利润15万元，计划以后三年共实现利润60万元，求该公司利润每年应按多大速度增长才能达到目的。求解方法：查表法上一页下一页累计法查对表递增速度间隔期1～5年平均每年增长﹪各年发展水平总和为基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………上一页下一页两种方法的比较:几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。平均发展速度的计算几何平均法：方程法：上一页下一页平均增长率

(averagerateofincrease)序列中各逐期环比值(也称环比发展速度)的几何平均数减1后的结果描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度通常用几何平均法求得。计算公式为平均增长率

(例题分析

)【例】见人均GDP数据

年平均增长率为：

2005年和2006年人均GDP的预测值分别为：增长率分析中应注意的问题当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5，2，0，-3，2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析增长率分析中应注意的问题

(例题分析)甲、乙两个企业的有关资料年份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2002500—60—2003600208440【例】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表增长率分析中应注意的问题

(增长1%绝对值)增长率每增长一个百分点而增加的绝对量用于弥补增长率分析中的局限性计算公式为甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元第三节时间序列预测的程序和方法13.3.1确定时间序列的成分13.3.2选择预测方法13.3.3预测方法的评估确定时间序列的成分确定趋势成分

(例题分析)【例】一种股票连续16周的收盘价如下表所示。试确定其趋势及其类型

确定趋势成分

(例题分析)直线趋势方程回归系数检验P=0.000179R2=0.645确定趋势成分

(例题分析)二次曲线方程回归系数检验P=0.012556R2=0.7841确定季节成分

(例题分析)【例】下面是一家啤酒生产企业2000～2005年各季度的啤酒销售量数据。试根据这6年的数据绘制年度折叠时间序列图，并判断啤酒销售量是否存在季节性年度折叠时间序列图

(foldedannualtimeseriesplot)将每年的数据分开画在图上若序列只存在季节成分，年度折叠序列图中的折线将会有交叉若序列既含有季节成分又含有趋势，则年度折叠时间序列图中的折线将不会有交叉，而且如果趋势是上升的，后面年度的折线将会高于前面年度的折线，如果趋势是下降的，则后面年度的折线将低于前面年度的折线选择预测方法预测方法的选择是否时间序列数据是否存在趋势否是是否存在季节是否存在季节否平滑法预测简单平均法移动平均法指数平滑法季节性预测法季节多元回归模型季节自回归模型时间序列分解是趋势预测方法线性趋势推测非线性趋势推测自回归预测模型评估预测方法计算误差平均误差ME(meanerror)平均绝对误差MAD(meanabsolutedeviation)计算误差均方误差MSE(meansquareerror)平均百分比误差MPE(meanpercentageerror)平均绝对百分比误差MAPE(meanabsolutepercentageerror)

13.4平稳序列的预测13.4.1简单平均法13.4.2移动平均法13.4.3指数平滑法简单平均法简单平均法

(simpleaverage)根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值设时间序列已有的其观察值为Y1，

Y2，

…，Yt，则第t+1期的预测值Ft+1为有了第t+1的实际值，便可计算出预测误差为第t+2期的预测值为简单平均法

(特点)适合对较为平稳的时间序列进行预测预测结果不准将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对未来有更大的作用当时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确移动平均法移动平均法

(movingaverage)对简单平均法的一种改进方法通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为预测值(也可作为趋势值)有简单移动平均法和加权移动平均法两种简单移动平均法

(simplemovingaverage)将最近k期数据平均作为下一期的预测值

设移动间隔为k(1<k<t)，则t期的移动平均值为

t+1期的简单移动平均预测值为预测误差用均方误差(MSE)

来衡量简单移动平均法

(特点)将每个观察值都给予相同的权数只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k主要适合对较为平稳的序列进行预测对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长简单移动平均法

(例题分析)【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期居民消费价格指数的预测值，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较简单移动平均法

(例题分析)简单移动平均法

(例题分析)指数平滑平均法指数平滑法

(exponentialsmoothing)是加权平均的一种特殊形式对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势一次指数平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远，权数变得越小以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为

Yt为第t期的实际观察值

Ft

为第t期的预测值为平滑系数(0<<1)一次指数平滑在开始计算时，没有第1期的预测值F1，通常可以设F1等于第1期的实际观察值，即F1=Y1第2期的预测值为第3期的预测值为一次指数平滑

(预测误差)预测精度，用误差均方来衡量

Ft+1是第t期的预测值Ft加上用调整的第t期的预测误差(Yt-Ft)一次指数平滑

(的确定)不同的会对预测结果产生不同的影响当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时，宜选较小的

选择时，还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误差的大小确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值一次指数平滑

(例题分析)第1步：选择【工具】下拉菜单第2步：选择【数据分析】，并选择【指数平滑】，然后【确定】第3步：当对话框出现时

在【输入区域】中输入数据区域

在【阻尼系数】(注意：阻尼系数=1-)输入的值

选择【确定”】【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较一次指数平滑

(例题分析)一次指数平滑

(例题分析)

13.5趋势型序列的预测13.5.1线性趋势预测13.5.2非线性趋势预测趋势序列及其预测方法趋势(trend)持续向上或持续下降的状态或规律有线性趋势和非线性趋势方法主要有线性趋势预测非线性趋势预测自回归模型预测线性趋势预测线性趋势

(lineartrend)现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的成分之一预测方法：线性模型法线性模型法

(线性趋势方程)线性方程的形式为

—时间序列的预测值

t—时间标号

b0—趋势线在Y轴上的截距

b1—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量线性模型法

(a和b的求解方程)根据最小二乘法得到求解b0和b1的标准方程为解得预测误差可用估计标准误差来衡量m为趋势方程中待确定的未知常数的个数

线性模型法

(例题分析)【例】根据人均GDP数据，根据最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的人均GDP，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

线性趋势方程：预测的R2和估计标准误差：R2=0.9806

2005年人口自然增长率的预测值

线性模型法

(例题分析)在Excel中最小平方法测定曲线趋势“工具”“数据分析”“分析工具”“回归”,进入回归分析对话框。“y值输入区域”输入y，“x值输入区域”输入x选择“残差”和“线性拟合图”，即可得出回归统计表及拟合趋势直线图。上一页下一页下一节tyi一阶差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nb—bbbb直线趋势方程：上一页下一页tyi一阶差分二阶差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2c—b+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c——2c2c2c抛物线趋势方程：上一页下一页非线性趋势预测时间序列以几何级数递增或递减一般形式为指数曲线

(exponentialcurve)b0，b1为待定系数

若b1

>1，增长率随着时间t的增加而增加若b1

<1，增长率随着时间t的增加而降低若b0>0，b1<1，趋势值逐渐降低到以0为极限指数曲线

(a，b的求解方法)采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lgb0、lgb1

的标准方程为求出lgb0和lgb1后，再取其反对数，即得算术形式的b0和b1

指数曲线

(例题分析)【例】根据轿车产量数据，确定指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的轿车产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

指数曲线趋势方程：预测的估计标准误差：

2005年轿车产量的预测值

指数曲线

(例题分析)指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应现象的相对发展变化程度上例中，b1=1.27286表示1990—2004年轿车产量的年平均增长率为27.286%

不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度趋势线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线3.比较估计标准误差13.6复合型序列的分解预测