2021高考数学(理)12 统计与概率 含解析

晨鸟教育专题限时集训(十

统计与概率1．(2019·全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200小鼠随机分成AB两组，每组100，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到(C)的估计值为求乙离子残留百分比直方图中，的值；分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[]

由已知得0.70＝a＋＋0.15，故a＝0.35.b＝1－－0.15－0.70＝甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×4×＋×0.20＋6×＋×0.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为Earlybird

9090晨鸟教育90903×0.05＋4×5×＋×0.35＋7×＋×0.152．(2017·全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为瓶；如果最高气温位于区间[，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数

2

16

36

25

7

4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．求六月份这种酸奶一天的需求量(单位：瓶)的分布列；设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，的数学期望达到最大值？[]

由题意知，X有可能取值为200,300,500，由表格数据＝200)2＋1636＝＝，P(X＝300)＝，(X＝500)＝

257＋490

＝0.4.因此的分布列为

2000.2

3000.4

5000.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为，至少为，因此只需考虑200≤n≤当300≤n≤，若最高气温不低于，则＝6n－4n＝2；若最高气温位于区间[，则Y＝6×＋2(n300)－4n＝1－2n；若最高气温低于，则＝6200＋2(n－－n＝8002n.因此E()＝2n×＋(1－)×0.4＋－)×0.26400.4n当200≤n时，若最高气温不低于，则＝6n－4n＝2；若最高气温低于，则＝6200＋2(n－－n＝8002nEarlybird

晨鸟教育因此E()＝2n×(0.4＋－2n×＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520．3(2020·国卷Ⅲ)某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级1(优2(良3(轻度污染4(中度污染

[0,200]2567

(200,400]161072

(400,600]251280分别估计该市一天的空气质量等级为的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；若某天的空气质量等级为或则称这天“空气质量好”某天的空气质量等级为34则称这天“空气质量不好”根据所给数据完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤空气质量好空气质量不好nbc附：K2，

人次400(K2)k

.[]下表：

由所给数据，该市一天的空气质量等级为的概率的估计值如空气质量等级概率的估计值

10.43

20.27

30.21

40.09一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为Earlybird

晨鸟教育1100

×20＋300×35＋×45)＝350.根据所给数据，可得×列联表：人次≤

人次＞400空气质量好空气质量不好

3322

378根据列联表得K

2

100×－×37＝5545×

≈5.820.由于＞3.841有95%把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．4全国卷Ⅱ)如图是某地区2000至年环境基础设施投资额y单位：亿元)的折线图．为了预测该地区年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据年至2016的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，^17)建立模型①＝－＋13.5t根据2010至2016的数据时间变量的值^依次为，…，建立模型②：＝＋17.5t分别利用这两个模型，求该地区2018的环境基础设施投资额的预测值；你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．[]

^利用模型①地区2018的环境基础设施投资额的预测值为＝－＋13.5×＝亿元．利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为×＝256.5(亿元)．利用模型②得到的预测值更可靠．

^y99＋Earlybird

晨鸟教育理由如下：(i)从折线图可以看出2000年至2016的数据对应的点没有随机散布在直线y＝30.4＋13.5t下，这说明利用年至年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对年的环境基础设施投资额有明显增加2010年至2016的数据对应的点位于一条直线的附近这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用年至^2016年的数据建立的线性模型＝＋17.5t可以较好地描述年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额亿元，由模型①得到的预测值元的增幅明显偏低利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可1肥城市第一高级中学高三月考)年4月，甲、乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X服从正态分布N，从甲、乙两校100及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20试卷将这份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：试通过茎叶图比较这40试卷的两校学生数学成绩的中位数；若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？从所有参加此次联考的学生中(人数很多)任意抽取3人记数学成绩在分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附若随机变量X服从正态分布(μσ)则Pμ－σ<≤μ＋＝P(Earlybird

晨鸟教育－2<≤μ＋σ)＝，μ－σX≤＋3)＝0.997nbc参考公式与临界值表：2＝，其中n＝a＋b＋＋d.(K

2

≥k)

k

[]

(1)由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为

128＋2

＝131.5，乙校学生数学成绩的中位数为

128＋2

＝所以这40份试卷的成绩甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高由题意，作出2×2联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀总计

甲校101020

乙校71320

总计172340计算得K

2

的观测值k＝

4013－×72020×

≈0.9207<2.706，所以没有90%把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关.因为X～N(110,144)，所以＝，σ＝144＝，所以P(86<X≤＝，所以P(X>134)＝

1－2

＝由题意可知ξ～(3,0.0228)，所以ξ)＝×＝2(2020·沙模拟)某市房管局为了了解该市市民2018年1月至年月期间购买二手房情况首先随机抽样其中200名购房者并对其购房面积m(单位：平方米60≤m≤进行了一次调查统计成了如图所示的频率分布直方图，接着调查了该市20181月至2019年月期间当月在售二手房均价y单位：万元/平方米)制成如图2所示的散点图图中月份代码1至分别对应年1月至20191月)．Earlybird

ii晨鸟教育ii图1图2试估计该市市民的平均购房面积m；从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100方米的人数为，求X的分布列与数学期望；^^^^^^根据散点图选择＝a＋bx和y＝＋dlnx两个模型进行拟合，经过数据处^^理得到两个回归方程，分别为＝0.9369＋x和y＝＋0.030x，并得到一些统计量的值，如表所示：^y＝＋0.028

^y＝＋．03013^∑(i1

5910.000i

13∑(i1y)

050请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测20206月份的二手房购房均价(精确到0.001)．参考数据：ln2≈，ln1.10，ln10≈2.30，≈，2，3≈，10≈3.16，19≈Earlybird

iii1＝i333605121iii1＝i33360512121参考公式：

n^∑y＝1－.n∑yi[]

(1)m＝650.05＋×0.1＋8595×＋105×0.2＋×0.15＋125×0.05＝96.每一位市民购房面积不低于方米的概率为0.20＋0.05＝0.4，∴X～(3,0.4)，∴P(X＝)＝C

k×0.4

k×0.63

＝，(X＝＝0.63＝，(X＝＝C×0.4×0.6＝0.432，(X＝＝C

×0.4

2

×＝，(X＝＝0.4

3

＝，∴的分布列为：

0

1

2

3∴E(X)＝3×0.4＝1.2.^^设模型＝9＋＝0.9554＋的相关指数分别为5910.000R，R，则2＝1－，2＝1－

，∴R＜R，^∴模型y＝＋6lnx拟合效果更好，20216份对应的＝42，^∴y＝4＋6ln42＝4＋6(ln3＋ln≈元/平方米．3．(2020·深圳模拟)2020年是中国改革开放的第42周年，为了分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地100市民进行调查，将他们的年龄分成6段[

2030

)，[，

)，…[，80

)

，并绘制了如图所示的频率分布直方图．Earlybird

68686814284晨鸟教育68686814284现从年龄在[30)[30，[，)

内的人员中按分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取3人进行座谈，用X表示年龄在[，数，求的分布列和数学期望；

内的人若用样本的频率代替概率随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k市民的年龄在[30，50)的概率为P(＝k)(k＝0，1，2…，20

)

.当P＝)最大时，求k的值．[]

按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[，

内的人数为

＋0.010＋

×8＝1人，年龄在

[

3040

)

内的人数为

＋0.010＋

×8＝2人，年龄在[，

内的人数为

＋0.010＋

×8＝5人．所以的可能取值为0,1,2，所以P＝0

C0＝＝，C3(＝1)(＝2)

C1＝＝，C3C2＝＝，C3所以的分布列为

0514

11528

23285153(X)＝0×＋＋2×＝.设在抽取市民中在[，50

内的人数X服从二项分布频率分布直方图可知，年龄在[，)

内的频率为0.010＋

)

×10，Earlybird

20设t＝＝23i10iiii112323320设t＝＝23i10iiii11232331232所以X～(

20

)

，所以P(X＝)＝Ck(0.35)k(1－0.35)－k

＝0,1,2，…，．(＝k)(0.35)k－0.35(＝k－1)0.35k11－0.35)21＝

7

(21－k)13

(

k＝12…，20

，若t，则<7.35，(＝k－1

)(＝k

；若t，则>7.35，

(X＝k－1

)(＝k

.所以当k＝7，P

(X＝k)最大，即当PX)最大时，k＝7.4(2020·皖南八校第二次联考)2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地——徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比(每人各投一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球两人有1命中命中者得1分未命中者得－分两人都命中或都未命中，12两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．经过1投球，记甲的得分为X，求X分布列；若经过n轮投球，用p表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．①求p，，；②规定＝，经过计算机计算可估计得＝＋＋(≠1)请根据＋－①中，p，p的值分别写出a关于b表达式，并由此求出数列{p

}通项公式．[]

记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，A，相互独立，12由题意P(A)＝，P(B)＝，甲的得分X的取值为－，(X＝－＝(AB)＝P))＝＝(＝P()＋(A)＝P(B)＋(A)P)×＋1＝，2Earlybird

11326111126362111433363666362163ii11132611112636211