2021届浙江省百校高考数学联考数学试卷(2021.03)

2021浙江省百校考数学考数学试卷3份）一、选题（共10题）1．已知集合A＝{|0＜x，x∈N*}，＝{|1＜x，x∈N*}，则A∪＝（）A．{2}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．（0，4]2．若＝3+i，则a＝（）A．2B．2i

C．4D．4i3．若实数x，满足约束条件，则z+y最小值时x＝（）A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣14．函数

的图像可能是（）A．B．C．D．5如图某四棱锥的三视单位如图所示则该四棱锥的最长的棱长（cm

）

A．B．2C．D．6．已知数列{a}满足＝sinan∈Nnnn

，若对任意n∈N

，都a≤，则下列可能成+1n立的是（）A．a＝1B．a﹣1C．a＝﹣2D．1237．已知随机变量ξ满足（ξ＝0）＝1﹣，（ξ＝1）＝，且＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ，则（）A．E（η）＜（ξ）B．（η）＞E（ξC．（η）＜D（ξ）D．D（η）＞（ξ）8平面上两点﹣2B的直线l上满足的点P个数为（）A．0C．29．已知α，

B．1D．与直线l的斜率有关，α≠β，α﹣β＝sinα﹣2sinβ，则下列结论一定成立的是（）A．B．C．α＞βD．α＜β10．已知正方体﹣A''C'D'的棱长为1，点M，别为线段AB'，的动点，点T平面BCC''内，则||+|NT|的最小值是（）A．B．C．D．1二、填题（共7题，单空题3分，双空题6，共）11．已知函数

的定义域为．12．已知直线﹣+8＝0m＞0）和圆O：2+y＝25相交于，点，若△的面

积为12，则AB长度为，m＝．13．在二项式

的展开式中，x

的项是；系数为有理数的项的二项式系数的和为．14．已知△ABC中，内角A，，C对边分别是，，c，且，b，D是AC边上近A的三等分点，且2∠＝∠CBD，则∠＝，BC＝．15．已知函数（）＝2|2

﹣x+a|+|x

﹣4x+a|，若对任意的∈（1）不等式（）≥（a﹣1）恒成立，则实a最大值为．16知抛物线2

＝2px的焦点为点是该抛物线上的点，

，，线段AB中点M抛物线的准线上的射影为N，则

的最大值为．17．已知单位向量，，满足为．

，则

的最大值为，最小值三、答题本大题共5小题共74．解答应写文字说明、证明过或演算程）18．已知（Ⅰ）求f（）的单调增区间；

的最大值为2，其中＞0，（Ⅱ）在△中，内角，，对边分别为，，，且的值．

，求（A）19．如图，圆锥顶点为P，其母线长3，点、、、都在底面O，且BC＝3，，∠＝∠PAC；设E、分别是母线PB、靠近B、的三等分点，并且平面交母线PM于点．（Ⅰ）证明：AP⊥；（Ⅱ）当∠＝60°时，求PT平面AEF所成角的正弦值．20．已知数列{a}为各项非零等差数列，其前项和为S满足Snn2﹣1

＝a2n

．

（Ⅰ）求数列{a}的通项公式n（Ⅱ）记bn21．如图，已知椭圆E：

，求数列{b}的前n项和Tnn＝1，离心率为，

为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点Q△PFF内心，连接P，Q延长交x于点12M．（Ⅰ）求椭圆E方程；（Ⅱ）设eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)QM，△FQP的面积分别为S，，求1212

的取值范围．22．已知函数f（）＝．（Ⅰ）若af（）≤e﹣1

﹣1恒成立，求实数a的值；（Ⅱ）若关于x方程f（2

）﹣x+

＝0有四个不同的实数根，则实数取值范围．

参考答一、选题（共10题）1．已知集合A＝{|0＜x，x∈N*}，＝{|1＜x，x∈N*}，则A∪＝（）A．{2}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．（0，4]解：∵A＝{|0＜≤2，x∈N*}＝{1，2}，＝{|1＜≤4，x∈N*}＝{2，3，4}，∴A∪＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}故选：B．2．若＝3+i，则a＝（）A．2B．2i解：因为，所以2+ai＝（3+）（1+i＝2+4i，所以a＝4．故选：C．

C．4D．4i3．若实数x，满足约束条件，则z+y最小值时x＝（A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣1

）解：画出约束条件

表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数z＝2+y可化为y＝﹣2+z，平移直线y＝+z知，

直线过点A，直线在y轴上的截距最小，由，解得点A﹣3，﹣1），所以z＝2+y取得最小值时x＝﹣3．故选：C．4．函数

的图像可能是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣f（），∴函数f（）为奇函数，排除选项C和D，取x，∵sin（0.01+故选：A．

）＞cos（0.01+），（0.01）＜0，排除选项．5如图某四棱锥的三视单位如图所示则该四棱锥的最长的棱长（）cm

A．B．2C．D．解：由三视图知，该几何体是四棱锥，且一条侧垂直于底面，底面是俯视图对应的图形，画出四棱锥的直观图，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥的高为＝底面对角线AC＝＝2，

，所以最长棱的长为＝故选：C．

＝

．6．已知数列{a}满足＝sinan∈Nnnn

，若对任意n∈N

，都a≤，则下列可能成+1n立的是（）A．a＝1B．a﹣1C．a＝﹣2D．123解：令f（）＝﹣sinx，则f′（）＝1﹣cosx，∴f（）在x∈R时单调递增，又f（0）＝0，∴当x≥0时，恒有f（）≥0，即当x≥0时，恒有x≥sin，∵a≤aa＝sina，∈N*+1n+1n

，

∴sinaa，可得a，则满足条件的只有选项A，nnn故选：A．7．已知随机变量ξ满足（ξ＝0）＝1﹣，（ξ＝1）＝，且＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ，则（）A．E（η）＜（ξ）B．（η）＞E（ξC．（η）＜D（ξ）D．D（η）＞（ξ）解：依题意，随机变量ξ服从两点分布，故（ξ）＝，D（ξ）＝（1﹣），又η＝|ξ﹣（ξ）|，所以η取值为，1﹣，且（η＝p）＝1﹣，（η＝1﹣p）＝p，所以E（η）＝（1﹣p（1﹣p）＝2p（1﹣），D（η）E（η）﹣（η）＝[p2

（1﹣）+（1﹣）2]﹣[2（1﹣）]2

＝p（1﹣p）[1﹣4（1﹣）]，∴（η）﹣（ξ）＝2（1﹣p）﹣p＝﹣2p

＝（1﹣2p），可能为正也可能为负，即E（η）和（ξ）大小关系不确定；∵0＜p，∴（η）﹣（ξ）＝p（1p﹣4p（1﹣）]（p﹣2

）＝2（1﹣p）

＜0，∴D（η）＜D（ξ）．故选：C．8平面上两点﹣2B的直线l上满足的点P个数为（）A．0C．2解：由

，得

B．1D．与直线l的斜率有关，可得

，即，设P（，y），得（+2）2

+y

＝4（x﹣1）

+4y

，整理得（x﹣2）+2＝4，故点P的个数即为圆的交点个数．由于直线l定点（1，0），且在圆内，所以直线与圆有两个交点，故选：C．9．已知α，立的是（）

，α≠β，α﹣β＝sinα﹣2sinβ，则下列结论一定成

A．解：由

B．C．α＞βD．α＜β，可知sinβ＞0，e﹣＝sinα﹣2sinβα﹣sinβ，整理可得：e﹣sinα＜e﹣sinβ，构造函数f（）＝e﹣sinx，，f′x）＝e﹣cosx，故f（）在∴α＜β．而α+β的大小不能确定．故结论一定成立的是D故选：D．

上单调递增，10．已知正方体﹣A''C'D'的棱长为1，点M，别为线段AB'，的动点，点T平面BCC''内，则||+|NT|的最小值是（）A．B．C．D．1解：A关于BC的对称点为E，关于对称点为N'，设d异面直线AB'与CE之间的距离，则|MT|+||＝|MT|+|'|≥|MN'|≥，因为CE∥，∥D′′，所以CE∥′D′，又因为eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)′D′为正三角形，所以∠′D′＝60°，所以直线AB'与成角为60°，四面体AB'体积

，又因为所以，解得，

，所以|MT|+||的最小值为故选：B．

，

二、填题（本大题7小题，单空题3分，双空每题6，共36分）11．已知函数

的定义域为{|＞1或x＜﹣1}．解：要使

有意义，则x

＞1，解得x＞1或＜﹣1．∴函数的定义域为{x|＞1或x＜﹣1}．故答案为：{x|＞1或x＜﹣1}．12．已知直线﹣+8＝0m＞0）和圆O：2+y＝25相交于，点，若△的面积为12，则AB长度为6或8，m＝

或．解：设AB长度为2n，圆心O直线AB的距离为d，由△的面积为12，可得当n＝3时，d＝4，则

，解得

，则＝3或n＝4，（m＞0）；当n＝4时，d＝3，则

，解得

（m

＞0）．故答案为：6或8；

或

．13．在二项式

的展开式中，含7

的项是1087

；系数为有理数的项的二项式系数的和为256．解：二项式

的展开式中，通项公式为T＝+1

x﹣r

，

则含x项是而系数为有理数的项为奇数项，

，其二项式系数的和

．故答案为：108x

；256．14．已知△ABC中，内角A，，C对边分别是，，c，且边上近A的三等分点，且2∠＝∠CBD，则∠＝解：如图，令∠1＝∠，∠2＝∠CBD，

，b＝6，DAC，BC＝．在△内，根据正弦定理可得在△BCD，，两等式相除可得因为，由正弦定理可得

，

，，则

＝

＝，所以

，，

，因此

，则2

＝b

＝a

+c

，则故答案为：

，；．

．15．已知函数（）＝2|2

﹣x+a|+|x

﹣4x+a|，若对任意的∈（1）不等式（）≥（a﹣1）恒成立，则实a最大值为25．解：∵x∈，），∴x

＞x，∴f（）＝2|2

﹣x+|+|x

﹣4x+a|＝2（2

﹣x+）+|2

﹣4x+a|，

不等式f（）≥（a）x化为2（2﹣x+）+|2﹣4+|≥（a﹣1），即|x

﹣4x+a|≥﹣2x

+（a+1）﹣2，∴x

﹣4x+a≥﹣2x

+（a+1）﹣2，或2

﹣4x+≤22

﹣（a+1）+2，即3x

﹣（a+5）+3a①，或2

﹣（a﹣3）+a≥0在∈（1，a）上恒成立．若3x

﹣（a+5）+3a在∈（1，a）上恒成立，令g（）＝32

﹣（a+5）+3，∵x∈，a），∴1＜＜a，则，即，得1＜≤25；若x

﹣（a﹣3）+a在∈（1，a）上恒成立，令h（）＝x

﹣（a﹣3）+，∵x∈，a），∴＜a，则∴

或，或，得1＜a≤9，综上，实数a取值范围为（1，25]，a的最大值为25．故答案为：25．16知抛物线2

＝2px的焦点为点是该抛物线上的点，

，

，线段AB中点M抛物线的准线上的射影为N，则，得AF⊥，解：如图所示，由

的最大值为3

．设|AF|＝，|BF|＝，又

，则

，而根据抛物线的性质可得||＝∵，

＝

＝，∴故答案为：．

，则|MN|的最大值为．

17．已知单位向量，，满足﹣．解：利用三角不等式，得；另一方面，∴，

，则

的最大值为1，最小值为，即，即，∵，为单位向量，∴

，两边平方得，4≤

，得：故答案为：1；

．．三、答题本大题共5小题共74．解答应写文字说明、证明过或演算程）18．已知（Ⅰ）求f（）的单调增区间；

的最大值为2，其中＞0，（Ⅱ）在△中，内角，，对边分别为，，，且的值．解：（I）＝

，求（A）＝∴

sin（2x+φ），其中tanφ＝，，∵m＞0，∴，

∴，，k∈Z，令，k∈Z，解得∴f（）的单调增区间为（II）已知，由正弦定理可得即sinAcosC＝2sincosA﹣sincosA，即sinAcosC+sincos＝2sinBcos，即sin（A+）＝2sinBcosA，即sinBcosA，又sinB≠0，∴，∴，

，∈Z

，∴

＝2sin＝1．19．如图，圆锥顶点为P，其母线长3，点、、、都在底面O，且BC＝3，，∠＝∠PAC；设E、分别是母线PB、靠近B、的三等分点，并且平面交母线PM于点．（Ⅰ）证明：AP⊥；（Ⅱ）当∠＝60°时，求PT平面AEF所成角的正弦值．解：（I）证明：在圆锥PO，PO⊥面ABCPO⊥，，连结AMBC，则⊥BC，又AO∩＝O，则BC⊥，

又E、分别是靠近BC三等分点．（II）由∠得△、△都为正三角形，则＝AC＝BC，如图以O为原点，垂直于AM所在的直线为，OM在的直线为y，OP在的直线为z建立空间直角坐标系，则∴∴∴

，，，，，，∴，设

平

面

AEF

的

法

向

量，

则又为θ，∴

，，设PT平面AEF所成角为θ，则PM平面AEF成角也．20．已知数列{a}为各项非零等差数列，其前项和为S满足Snn2﹣1

＝a2n

．（Ⅰ）求数列{a}的通项公式n（Ⅱ）记bn

，求数列{b}的前n项和Tnn解：（I）由题设可得：

，

∵a≠0，n∴a＝2n﹣1；n（

II

）

由（Ⅰ）

可

得：，n为偶数时，n为奇数时，综上，T．n21．如图，已知椭圆E：＝1，离心率为，

，，为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点Q△PFF内心，连接P，Q延长交x于点12M．（Ⅰ）求椭圆E方程；（Ⅱ）设eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)QM，△FQP的面积分别为S，，求1212

的取值范围．解：（I）因为离心率为又因为

，故，为椭圆的左右焦点，故

，所以椭圆

．（Ⅱ）因为Q△PFF的内心，故Q△PFF内角角平分线交点，1212

故根据角平分线定理可知，，，∴，设eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)QM，△FQP以PQ，为底边的高为h，1212，∵，设P（，y）∴PF+ex，PFa﹣001020∴∵P椭圆上一动点，且构成三角形，故x∈（，2），0

，∴22．已知函数f（）＝．

．（Ⅰ）若af（）≤e﹣1

﹣1恒成立，求实数a的值；（Ⅱ）若关于x方程f（2

）﹣x+

＝0有四个不同的实数根，则实数取值范围．解：（I）（）＝（）﹣e﹣1

+1＝alnx﹣x

+1，′（x）＝﹣e﹣1

，又g（）