高中数学人教B版3第三章统计案例 学业分层测评19

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是()A.预报变量在x轴上，解释变量在y轴上B.解释变量在x轴上，预报变量在y轴上C.可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上D.可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上【解析】结合线性回归模型y＝bx＋a＋ε可知，解释变量在x轴上，预报变量在y轴上，故选B.【答案】B2.(2023·泰安高二检测)在回归分析中，相关指数r的绝对值越接近1，说明线性相关程度()A.越强 B.越弱C.可能强也可能弱 D.以上均错【解析】∵r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))，∴|r|越接近于1时，线性相关程度越强，故选A.【答案】A3.(2023·西安高二检测)已知x和Y之间的一组数据x0123Y1357则Y与x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点()A.(2,2) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))C.(1,2) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(0＋1＋2＋3)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).【答案】D4.已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量()A.一定是%B.在%附近的可能性比较大C.无任何参考数据D.以上解释都无道理【解析】将x＝36代入回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝×36－≈.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在%附近的可能性较大，故选B.【答案】B5.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－－.其中一定不正确的结论的序号是()A.①② B.②③C.③④ D.①④【解析】根据正负相关性的定义作出判断.由正负相关性的定义知①④一定不正确.【答案】D二、填空题6.(2023·江西吉安高二检测)已知x，Y的取值如下表所示，由散点图分析可知Y与x线性相关，且线性回归方程为y＝＋，那么表格中的数据m的值为________.x0134Ym【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋m,4)＝eq\f＋m,4)，把(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))代入回归方程得eq\f＋m,4)＝×2＋，解得m＝.【答案】7.已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________.【解析】由斜率的估计值为，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得5＝eq\o(a,\s\up6(^))＋×4，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝，即eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.【答案】eq\o(y,\s\up6(^))＝＋8.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.【导学号：62980069】【解析】以x＋1代x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝(x＋1)＋，与eq\o(y,\s\up6(^))＝＋相减可得，年饮食支出平均增加万元.【答案】三、解答题9.(2023·包头高二检测)关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用Y(万元)，有如下的统计资料：x23456Y如由资料可知Y对x呈线性相关关系.试求：(1)线性回归方程；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－))，\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)))(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【解】(1)eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f－5×4×5,90－5×42)＝.于是eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))x＝5－×4＝.所以线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝＋.(2)当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋＝(万元)，即估计使用10年时维修费用是万元.10.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x124Y1612521试建立Y与x之间的回归方程.【解】作出变量Y与x之间的散点图如图所示.由图可知变量Y与x近似地呈反比例函数关系.设y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，则y＝kt.由Y与x的数据表可得Y与t的数据表：t421Y1612521作出Y与t的散点图如图所示.由图可知Y与t呈近似的线性相关关系.又eq\o(t,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝，eq\i\su(i＝1,5,)tiyi＝，eq\i\su(i＝1,5,)teq\o\al(2,i)＝5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,5,)tiyi－5\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),eq\i\su(i＝1,5,)t\o\al(2,i)－5\o(t,\s\up6(－))2)＝eq\f－5××,5－5×≈4，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝－4×≈，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝4t＋，即Y与x之间的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f4,x)＋.[能力提升]1.根据如下样本数据x345678Y－－－得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则()＞0，b＜0 ＞0，b＞0＜0，b＜0 ＜0，b＞0【解析】作出散点图如下：由图象不难得出，回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，eq\o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】A2.(2023·湛江高二检测)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高Y(cm)175175176177177则Y对x的线性回归方程为()＝x－1 ＝x＋1＝88＋eq\f(1,2)x ＝176【解析】因为eq\x\to(x)＝eq\f(174＋176＋176＋176＋178,5)＝176，eq\x\to(y)＝eq\f(175＋175＋176＋177＋177,5)＝176，而回归方程经过样本中心点，所以排除A，B，又身高的整体变化趋势随x的增大而增大，排除D，所以选C.【答案】C3.(2023·大同高二检测)以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程z＝＋4，则c＝________.【解析】由题意，得ln(cekx)＝＋4，∴lnc＋kx＝＋4，∴lnc＝4，∴c＝e4.【答案】e44.(2023·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.图3­2­2eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))5631469表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,)wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(∧))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),eq\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(∧))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(∧))eq\x\to(u).【解】(1)由散点图可以判断，y＝c＋deq\r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回归方程.由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f,＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×＝，所以y关于w的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68w，因此y关于x