高中数学苏教版第二章平面解析几何初步单元测试（区一等奖）

2．空间两点间的距离如下图所示，一只小蚂蚁站在水泥构件点O处，在A，B，C，D，E处放有食物，建立适当的空间直角坐标系，可以告诉小蚂蚁食物的准确位置．你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗？1．若在空间直角坐标系Oxyz中点P的坐标是(x，y，z)，则P到坐标原点O的距离OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．2．在空间直角坐标系Oxyz中，设点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1与P2之间的距离P1P2＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2)．3．在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x0，y0，z0)到平面xOy的距离为|z0|，到x轴的距离为eq\r(y20＋z20)．空间两点间的距离公式(1)已知空间中两点A、B的坐标为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则这两点间的距离为AB＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2).特别地点A(x，y，z)到原点的距离为：OA＝eq\r(x2＋y2＋z2).记忆上述公式时可以类比平面解析几何中两点间的距离公式．(2)空间两点间的距离公式的推导思路．思路一：当两点连线与坐标平面不平行时，过两点分别作三个坐标平面的平行平面，转化为求长方体的对角线长，从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可，而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得．思路二：作线段在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(3)坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：a.在立体几何图形中建立空间直角坐标系；b.依题意确定各相应点的坐标；c.通过坐标运算得到答案．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)知识点一空间中两点间的距离公式1．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),3)，\f(\r(6),6)))到原点的距离是________．解析：由两点间距离公式可得．答案：12．在x轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点的坐标为________．解析：设x轴上的点的坐标为(x，0，0)，则由距离公式得：(x＋4)2＋|－1|2＋(－7)2＝(x－3)2＋(－5)2＋22.解得x＝－2.答案：(－2，0，0)3．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到A(1，1，1)的距离是________．解析：设P(0，0，c)，∵PO＝1，∴c＝±1.当c＝1时，PA＝eq\r(2)；当c＝－1时，PA＝eq\r(6).答案：eq\r(2)或eq\r(6)知识点二空间中两点间距离公式的简单应用4．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________．解析：∵A(1，2，3)在平面yOz内的射影为B(0，2，3)，∴OB＝eq\r(13).答案：eq\r(13)5．设A(3，3，1)、B(1，0，5)、C(0，1，0)，AB的中点M，则CM＝________．解析：由中点公式得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))，∴CM＝eq\r(（2－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－0）2)＝eq\f(\r(53),2).答案：eq\f(\r(53),2)6．已知空间三点A(0，0，3)、B(4，0，0)、C(4，5，0)，求△ABC的周长．解析：∵AB＝eq\r(（0－4）2＋02＋（3－0）2)＝5，BC＝eq\r(（4－4）2＋（0－5）2＋02)＝5，AC＝eq\r(（0－4）2＋（0－5）2＋（3－0）2)＝5eq\r(2)，∴△ABC的周长为10＋5eq\r(2).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一空间中有关距离的计算问题7．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为eq\r(86)，则x等于________．解析：由eq\r(（x＋3）2＋（－1－4）2＋（6－0）2)＝eq\r(86)，∴x＝2或－8.答案：2或－88．已知点A(－3，1，4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为________．解析：AB＝2OA＝2eq\r(（－3）2＋12＋42)＝2eq\r(26).答案：2eq\r(26)综合点二两点间距离公式的综合应用9．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．解析：设点P(a，b，c)，则它在三个坐标轴上的射影为P1(a，0，0)、P2(0，b，0)、P3(0，0，c)，由已知得：b2＋c2＝1，c2＋a2＝1，a2＋b2＝1.∴2(a2＋b2＋c2)＝3.故PO＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)10．已知A(1－t，1－t，t)、B(2，t，t)，则AB的最小值为________．解析：∵AB＝eq\r(（2－1＋t）2＋（t－1＋t）2＋（t－t）2)＝eq\r(（t＋1）2＋（2t－1）2)＝eq\r(5t2－2t＋2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))\s\up12(2)＋\f(9,5))，∴当t＝eq\f(1,5)时，ABmin＝eq\f(3\r(5),5).答案：eq\f(3\r(5),5)11．在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)、B(2，0，0)、C(0，2，0)，则△ABC的面积是多少？解析：AB＝eq\r(（0－2）2＋（0－0）2＋（3－0）2)＝eq\r(13)，BC＝eq\r(（2－0）2＋（0－2）2＋（0－0）2)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(（0－0）2＋（0－2）2＋（3－0）2)＝eq\r(13)，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．则BC边上的高h＝eq\r(（\r(13)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(11)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·h＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(11)＝eq\r(22).综合点三应用距离解决角度问题12．如图，已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中，B(eq\r(3)m，m，0)、C(0，2m，0)、P(0，0，2n)．(1)画出这个空间直角坐标系，并指出AB与Ox轴的正方向的夹角；(2)若M为BC的中点，n＝eq\f(\r(3),2)m，求直线AM与其在平面PBC内的投影所成的角．解析：(1)如图，以A为坐标原点O，以AC为Oy轴，以AP为Oz轴，建立空间直角坐标系，此时AB与Ox轴的正