高中数学人教A版5柯西不等式与排序不等式 市赛获奖

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(三)(第三讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为() B.4 【解析】选B.由柯西不等式,(mt+ns)2≤(m2+n2)(t2+s2)=16,得|mt+ns|≤4,当且仅当ms=nt时等号成立.2.(2023·深圳高二检测)函数y=x-5+26A.3 B.5 【解析】选B.根据柯西不等式,有(x-5+26-x)2≤(1+4)[(x-5)+(6-x)]=5,所以y=x3.设a,b,c>0,且a+b+c=1,则a+b+c的最大值是() B.3 【解析】选B.由柯西不等式得[(a)2+(b)2+(c)2]·(12+12+12)≥(a+b+c)2,所以(a+b+c)2≤1×3=3.当且仅当a=b=c=13时等号成立.故a+b+c的最大值为3个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是() D.1【解析】选C.设n个正数为x1,x2,…,xn.由柯西不等式得:(x1+x2+…+xn)(1x1+1x2+…+1xn)≥x1×1x15.(2023·石家庄高二检测)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则3a+1+3b+1+ B.3 【解析】选B.根据柯西不等式,3a+1+3b+1+3c+1≤(1+1+1)(3a+3b+3c+3)=36.(2023·西宁高二检测)已知a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,则M=(ax1+bx2)·(bx1+ax2)与4的大小关系是()>4 <4 ≥4 ≤4【解析】选C.(ax1+bx2)(bx1+ax2)=[(ax1)2+(bx2)2]·[(bx1)≥[ab(x1+x2)]2=(x1+x2)27.设a1,a2,a3为正数,E=a1a2a3+a2a3a<F ≥F=F ≤F【解析】选B.不妨设a1≥a2≥a3>0,于是1a1≤1a2≤1a3,a2a3由排序不等式:顺序和≥乱序和,得a1a2a31a2·a2a3+1a3·a3a1+1a1·a1即a1a2a3+a2a3a所以E≥F.8.(2023·武汉高二检测)已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取得最小值时的x,y,z的值分别为()A.53,109,56 B.2029,12,13 ,1【解析】选B.(x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2=100,当且仅当x2=y3=此时x=2029,y=3029,z=二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们等候的总时间最短为s.【解析】由题意知,等候的时间最短为3×4+4×3+5×2+7=41.答案:4110.(2023·盐城高二检测)正数a,b,c满足a+b+4c=1,则a+b+2c的最大值为【解析】(a+b+2c)2所以a+b+2c≤10答案:1011.(2023·昆明高二检测)已知0<x<1,0<y<1,则函数f(x)=x2+y2+【解析】由三角不等式,得x2+≥[x-(x-1)]2当且仅当x=1-x,y=1-y,即x=12,y=1故f(x)的最小值为2.答案:212.锐角三角形中,设P=a+b+c2,Q=acosC+bcosB+ccosA,则P,Q的关系为【解析】不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC,则由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sinC+sinA+sinB)=P=a+b+c答案:P≤Q三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2023·临沂高二检测)已知2x+3y+5z=29,求函数u=2x+1+3y+4+【解析】根据柯西不等式,120=(1+1+1)[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]≥(2x+1+3y+4+5z+6于是2x+1+3y+4+5z+6当且仅当x=376,y=289,z=22故函数u=2x+1+3y+4+5z+614.(10分)(2023·长春高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求证:1x+4y+【证明】(x+y+z)1xx·1x+y·4y+z·9z即x=16,y=13,z=【一题多解】(利用基本不等式)1x+4y+9z=1x(x+y+z)+=14+yx+4xy+当且仅当y=2x,z=3x,且x+y+z=1,所以x=16,y=13,z=15.(10分)已知a,b,c为正数,a≥b≥c,求证:(1)1bc≥1ca≥(2)a5b3c3+b5c3a【解析】(1)因为a≥b>0,于是1a≤1所以1c>0,从而1bc≥同理,因为b≥c>0,于是1b≤1因为a>0,所以1a于是得1ca≥1从而1bc≥1ca≥(2)由(1)1bc≥1ca≥a5b3c3+b5c3=b2c3+≥c2c3+b2b3+a=1a+1b+16.(10分)设c1,c2,…,cn为正数组a1,a2,…,an的某一排列,求证:a1c1+a【证明】不妨设0<a1≤a2≤…≤an,则1a1≥1a2因为1c1,1c2,…,1cn是故由排序原理,反序和≤乱序和得a1·1a1+a2·1a2≤a1·1c1+a2·1c2+…+a即a1c1+a17.(10分)(2023·徐州高二检测)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值.(2)若a,b,c∈R+,且1a+12b+13c【解析】(1)因为f(x+2)=m-|x|≥0,等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m},又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)由(1)知1a+12b+又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)1≥a·18.(10分)(2023·广州高二检测)设a1,a2,…,an为1,2,3,…,n的一个排列.求证:12+23+…+n-1n≤a1【证明】设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列且b1<b2<…<bn-1,c1,c2,…,cn-1是a1,a2,…,an