高中数学人教B版第三章基本初等函数 高质作品 第23课时

第23课时实数指数幂及其运算(2)课时目标1.熟练掌握指数幂的运算法则．2．加深根式的性质、分数指数幂的运算．识记强化1．根式的性质：(1)(eq\r(n,a))n＝a(n＞1，且n∈N＋)；(2)当n为奇数时eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时eq\r(n,an)＝|a|.2．分数指数幂的运算法则：a＝eq\r(n,a)(a＞0)；a＝(eq\r(n,a))m＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋且eq\f(m,n)为既约分数)a＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N＋且eq\f(m,n)为既约分数)3．设a＞0，b＞0，对任意有理数α、β，有理指数幂有如下三条运算法则aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα.课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是()A．(－1)和(－1)B．0－2和0C．2和4D．4和(eq\f(1,2))－3答案：C解析：选项A中，(－1)和(－1)均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4和(eq\f(1,2))－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，2＝eq\r(2)，4＝eq\r(4,22)＝2＝eq\r(2)，满足题意．故选C.2．将eq\r(2\r(2\r(2)))化为分数指数幂为()A．2B．2C．2D．2答案：D解析：eq\r(2\r(2\r(2)))＝(2)＝2.3．计算：3π×(eq\f(1,3))π＋(2)＋1的值为()A．17B．18C．6D．5答案：B解析：3π×(eq\f(1,3))π＋(2)＋1＝(3×eq\f(1,3))π＋2×＋1＝1π＋24＋1＝18.4．已知x－2＋x2＝2eq\r(2)且x＞1，则x2－x－2的值为()A．2或－2B．－2\r(6)D．2答案：D解析：解法一：∵x＞1，∴x2＞1.由x－2＋x2＝2eq\r(2)可得x2＝eq\r(2)＋1.∴x2－x－2＝eq\r(2)＋1－eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)＋1－(eq\r(2)－1)＝2.解法二：令x2－x－2＝t，①∵x－2＋x2＝2eq\r(2)，②∴①2－②2得t2＝4.∵x＞1，∴x2＞x－2，∴t＞0，于是t＝2.即x2－x－2＝2.故选D.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,42)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,20122)))的值是()\f(4023,4024)\f(1005,2012)\f(1,2)\f(2013,4024)答案：D解析：原式＝eq\f(1×3,22)×eq\f(2×4,32)×…×eq\f(2010×2012,20112)×eq\f(2011×2013,20122)＝eq\f(2013,4024).6．下列四个结论：①当a＜0时，(a2)＝a3；②eq\r(n,an)＝|a|(n＞1，n∈N＋)；③函数y＝(3－x)－(3x－7)0的定义域是(－∞，3)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案：B解析：①中，当a＜0时，(a2)＝[(a2)]3＝|a|3＝－a3，∴①不正确；②中，当n是正偶数时，eq\r(n,an)＝|a|成立，当n是正奇数时，eq\r(n,an)＝a，∴②不正确；③中，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,3x－7≠0，))则x≤3且x≠eq\f(7,3)，故定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))∪(eq\f(7,3)，3]，∴③不正确；④中，∵100a＝5,10b∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝5×2.∴∴2a＋b＝1.∴④正确．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)\r(－π2)＋eq\r(－π2)＝________.答案：1解析：eq\r(－π2)＋eq\r(－π2)＝|－π|＋|－π|＝π－＋－π＝1.8．计算：8－－3＋(eq\f(1,\r(3)))－6×(eq\f(81,16))＝________.答案：4解析：8－－3＋(eq\f(1,\r(3)))－6×(eq\f(81,16))＝(23)－(2－1)－3＋(3－eq\f(1,2))－6×[(eq\f(3,2))4]＝22－23＋33×(eq\f(3,2))－3＝4－8＋27×eq\f(8,27)＝4.\r(11－2\r(30))＋eq\r(7－2\r(10))＝________.答案：eq\r(6)－eq\r(2)解析：eq\r(11－2\r(30))＋eq\r(7－2\r(10))＝eq\r(6－2\r(5×6)＋5)＋eq\r(5－2\r(5×2)＋2)＝eq\r(\r(6)－\r(5)2)＋eq\r(\r(5)－\r(2)2)＝eq\r(6)－eq\r(5)＋eq\r(5)－eq\r(2)＝eq\r(6)－eq\r(2).三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)计算：(1)(2eq\f(1,4))－＋6－2×(eq\f(8,27))；(2)－[－2×(eq\f(2023,2023))0]2×[(－2)3]＋10(2－eq\r(3))－1－10×；(3)(7＋4eq\r(3))－81＋32－2×(eq\f(1,8))＋eq\r(3,2)×(4)－1.解：(1)(2eq\f(1,4))－＋6－2×(eq\f(8,27))＝[(eq\f(3,2))2]eq\f(1,2)－(eq\f(3,4))2＋eq\f(1,36)×[(eq\f(2,3))3]＝eq\f(3,2)－(eq\f(3,4))2＋eq\f(1,36)×(eq\f(2,3))－2＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.(2)－[－2×(eq\f(2023,2023))0]2×[(－2)3]＋10(2－eq\r(3))－1－10×＝[2]－(－2×1)2×(－2)－2＋10×eq\f(1,2－\r(3))－10×3＝2－4×eq\f(1,4)＋10(2＋eq\r(3))－10eq\r(3)＝21.(3)(7＋4eq\r(3))－81＋32－2×(eq\f(1,8))＋eq\r(3,2)×(4)－1＝[(2＋eq\r(3))2]－(34)＋(25)－2×(2－3)＋2×(22)＝2＋eq\r(3)－eq\r(3)＋8－8＋2＝4.11．(13分)已知x＋x＝3，计算：(1)x－x－1；(2)eq\f(x2＋x－2－7,x＋x－1＋3).解：(1)将x＋x＝3两边平方，得x＋x－1＋2＝32，即x＋x－1＝7，∴(x－x)2＝x＋x－1－2x·x＝7－2×1＝5，即x－x＝±eq\r(5).∴x－x－1＝(x－x)(x＋x)＝±3eq\r(5).(2)将x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＋2＝49，∴x2＋x－2＝47，∴eq\f(x2＋x－2－7,x＋x－1＋3)＝eq\f(47－7,7＋3)＝4.能力提升12．(5分)式子eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5))的化简结果为()A．1B．10C．100\r(10)答案：D解析：(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))2＝3＋eq\r(5)＋3－eq\r(5)＋2eq\r(3＋\r(5)3－\r(5))＝6＋2eq\r(4)＝10.13．(15分)当x＞0，y＞0，且eq\r(x)(eq\r(x)＋eq\r(y))＝3eq\r(y)(eq\r(x)＋5eq\r(y))时，求eq\f(2x＋\r(xy)＋3y,x＋\r(xy)－y)的值．解：由已知得x＋eq\r(xy)＝3eq\r(xy)＋15y⇒2eq\r(xy)＝x－15y⇒x2－34xy＋225y