高中数学人教A版3第一章计数原理二项式定理 二项式定理教学设计（沈琦）

《二项式定理（一）》教学设计贵州省铜仁第一中学沈琦一、教学内容解析《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。三、教学目标设置1.知识技能目标（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。2.过程与方法目标通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。3.情感、态度、价值观目标培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。四、教学重点、难点重点：用两个计数原理分析的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。难点：用两个计数原理分析推导的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。五、教学过程教学程序问题设计意图师生活动创设问题情境引入新课引出问题：如果今天是星期五，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算师：再过82023天后是星期几，你知道吗？不方便求出82023除以的余数，可以利用8=7+1，得到82023=(7+1)2023=?如果不用计算器的话,此时就需要研究提出问题激发学生探索欲望，并引出课题让学生用计算器计算从特殊开始由(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2;(a+b)3=(a+b)2×(a+b)=?结果：体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式展开后①项的形式为：②项的系数，考虑，：每个都不取的情况有1种，即,则前的系数为：恰有1个取的情况有种，则前的系数为：恰有2个取的情况有种，则前的系数为：恰有3个取的情况有种，则前的系数为所以考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。探究二：观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）4,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。回答：让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。学生先观察总结特点：1.项数是指数加1；2.字母a按降幂排列，字母b按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；3、每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。探究三：对于猜想我们如何进行证明呢？证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由r个选了b，n－r个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取r个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．让学生体会利用组合思想从特殊到一般，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。师生讨论证明思路，通过阅读课本上的证明过程，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。思考观察学习新课观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n(3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：=考察学生的观察力，以及分析问题的能力。学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。特殊的情况1.用-b代替b.写出的展开式2.令a=1,b=2x.写出的展开式对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。破解疑惑今天是星期五,再过82023天后是星期几，你知道吗？即82023除以7余数是1。故再过82023天后的那一天是星期六。破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情，学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。精讲精析巩固新知再探索对于的展开式思考1：展开式的第2项的系数是多少？思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出展开式的第2项？熟悉二项式定理，以及对二项式系数，展开式系数，以及x的系数问题的理解与记忆。教师板演过程，给学生以示范，为后面步骤的整洁做铺垫。反馈练习课堂练习1、求的展开式的第三项2、求的展开式的第三项熟悉二项式定理，二项式系数，二项展开式系数，以及通项的初步应用，理解二项式展开式的项的顺序。学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个别辅导。课堂小结本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？让学生回顾本节要点，观察学生掌握情况。学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别。布置作业课本37页习题A组2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理让学生巩固本节课的所学内容和知识。六、板书设计1.3.