有限域-代数基础-群

有限域FinteFields四院五教谭林课程介绍一门理论完善,应用广泛的数学课

一门密码学专业必修的基础课预修课程高等代数、初等数论、近世代数学习目标

理解有限域的基本概念和基本理论，运用有限域工具分析和解决特定问题，为专业学习打好基础。学习要求

逻辑思维、想象力2学习安排讲授、讨论、辅导、实验(10学时)考核方式平时成绩（30%）：课堂表现、作业、测验、实验期末考试（70%）：闭卷参考教材

RudolfLidlandHaraldNiederreiter《FiniteFields》1983,1997.

《IntroductiontoFiniteFields

andTheirApplications》1986,1994.3第一章代数基础4二元运算（Binaryoperation）设S是非空集合，则SS到S的映射称为集合S

上的（二元）运算(Operation)。运算封闭常用的运算：ab,a+b,ab5AlgebraicSystem代数系统（Algebraicsystem）非空集合S

以及定义在S

上的一个或多个运算称为一个代数系统。Abstractalgebrainvestigatespropertiesofoperationsandtheirconsequenceswhileneglectingtheactualnatureoftheobjects

thattheseoperationsareperformedon.6AnonemptysetBinaryoperationsAlgebraicSystem群（Group）一个集合

一种运算三条性质：结合率：a

(b

c)(a

b)

c单位元：存在eG

使得对任意的aG

有a

e

e

a

a逆元：对任意的aG,存在bG满足a

b

b

a

e注:有没有集合上的运算不满足结合率?

逆元是否一定存在?7Group群的简单性质单位元唯一逆元唯一消去律成立：即对a,

b,

cG,若ab

ac,则b

c;若ba

ca,则b

c.8Group交换群（Commutativegroup）设G

是群，若对任意的a,bG

有a

b

=

b

a，则G

称为交换群(阿贝尔群);

否则,称为非交换群。

9Group群（Group）设G是群,则G中元素的个数称为群的阶（order）,记作

|G|。若|G|是有限的,则称为有限群;否则,称为无限群。

10Group乘法群与加法群11MultiplicativeNotationsAdditiveNotationsaba+b10a1aannaanam

anm

na

ma

(nm)a

(an)m

anm

m(na)

(mn)a

Group例子设G={1,2,3,4,5,6,7},对任意的a,bG,令ab为a乘以b除以8的余数，即ab=(abmod8)，问G是群吗？设G={1,2,3,4,5,6},对任意的a,bG,令ab为a乘以b除以7的余数，即ab=(abmod7)，问G是群吗？整数Z,

{e},

Z/(6)?12Group子群（Subgroup）设

H

是群G的非空子集,若在

G

的运算下,

H

构成群,则称

H

是

G

的一个子群.平凡子群、非平凡子群设G

是有限群,

H

是群

G

的子群,则|H|是|G|的因子。设G

交换群,集合S

生成的G

的子群

〈S〉

{akbm,

a,bS;k,mZ}有限生成群13Group循环群(cyclicgroup)由一个元素生成的群称为循环群.〈a〉={an|nZ}.若〈a〉是有限群,则〈a〉的阶也称为元素a

的阶,记为ord(a).若a

的阶为k,则am

=e当且仅当k|m.14Group问题

设G=<a>是阶为m的循环群.若H

是G

的子群,问H是循环群吗?元素ak

的阶为多少?设n

整除m,是否存在n阶子群?设n

整除m,G

中有两个子群阶等于n

吗?思考题:有限群一定是循环群吗？15Group循环群(cyclicgroup)定理

设H

是加法群Z的子群,则H

是循环群.进一步,H=<0>或H=<m>,其中m

是H

中的最小正整数.16Group关系

SS的一个子集R确定集合S

的一个关系等价关系反身性对称性传递性等价类，代表元同余，Z/(n)17模子群的同余关系设

H

是群

G

的子群,RH={(a,b)|ab1H}是

G

上的一个等价关系。a,

bG,若aRH

b,则称

a

模

H

同余

b,记为a

bmodH。设aG,在模

H

同余下,a

的等价类为集合aH={ah|h

H

},aH也称为H在G中的一个陪集。18Group模子群的同余关系|aH|

|Ha|

|H|正规子群H：对任意aG,有aH

Ha.

记G/H

是全体等价类构成的集合,则G/H

以及G/H

上的运算[a][b]=[ab]构成群,称为G

模H

的商群。19Group群同态（homomorphismofgroups）设G

和H

是两个群,

f:

GH

是群之间的一个映射.若对任意的a,

bG,有f

(a

b)

f

(a)

◦

f

(b),其中表示G上的运算,◦表示H上的运算,则称f

是G

到H

的一个群同态.单同态(monomorphism)、满同态（epimorphism）、同构（isomorphism）（G

H）20Group群同态（homomorphismofgroups）f

(1G)

1Hf

(a1)

(f

(a))1Ker

f

{aG

|

f(a)

1H}是群G

的正规子群

f

是单同态当且仅当Kerf={1G}Imf

{bH

|

存在aG满足b=f

(a)

}是H

的子群21Group群同态（homomorphismofgroups）若

N

是

G

的正规子群,则:G