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文档简介
有限域FinteFields四院五教谭林课程介绍一门理论完善,应用广泛的数学课
一门密码学专业必修的基础课预修课程高等代数、初等数论、近世代数学习目标
理解有限域的基本概念和基本理论,运用有限域工具分析和解决特定问题,为专业学习打好基础。学习要求
逻辑思维、想象力2学习安排讲授、讨论、辅导、实验(10学时)考核方式平时成绩(30%):课堂表现、作业、测验、实验期末考试(70%):闭卷参考教材
RudolfLidlandHaraldNiederreiter《FiniteFields》1983,1997.
《IntroductiontoFiniteFields
andTheirApplications》1986,1994.3第一章代数基础4二元运算(Binaryoperation)设S是非空集合,则SS到S的映射称为集合S
上的(二元)运算(Operation)。运算封闭常用的运算:ab,a+b,ab5AlgebraicSystem代数系统(Algebraicsystem)非空集合S
以及定义在S
上的一个或多个运算称为一个代数系统。Abstractalgebrainvestigatespropertiesofoperationsandtheirconsequenceswhileneglectingtheactualnatureoftheobjects
thattheseoperationsareperformedon.6AnonemptysetBinaryoperationsAlgebraicSystem群(Group)一个集合
一种运算三条性质:结合率:a
(b
c)(a
b)
c单位元:存在eG
使得对任意的aG
有a
e
e
a
a逆元:对任意的aG,存在bG满足a
b
b
a
e注:有没有集合上的运算不满足结合率?
逆元是否一定存在?7Group群的简单性质单位元唯一逆元唯一消去律成立:即对a,
b,
cG,若ab
ac,则b
c;若ba
ca,则b
c.8Group交换群(Commutativegroup)设G
是群,若对任意的a,bG
有a
b
=
b
a,则G
称为交换群(阿贝尔群);
否则,称为非交换群。
9Group群(Group)设G是群,则G中元素的个数称为群的阶(order),记作
|G|。若|G|是有限的,则称为有限群;否则,称为无限群。
10Group乘法群与加法群11MultiplicativeNotationsAdditiveNotationsaba+b10a1aannaanam
anm
na
ma
(nm)a
(an)m
anm
m(na)
(mn)a
Group例子设G={1,2,3,4,5,6,7},对任意的a,bG,令ab为a乘以b除以8的余数,即ab=(abmod8),问G是群吗?设G={1,2,3,4,5,6},对任意的a,bG,令ab为a乘以b除以7的余数,即ab=(abmod7),问G是群吗?整数Z,
{e},
Z/(6)?12Group子群(Subgroup)设
H
是群G的非空子集,若在
G
的运算下,
H
构成群,则称
H
是
G
的一个子群.平凡子群、非平凡子群设G
是有限群,
H
是群
G
的子群,则|H|是|G|的因子。设G
交换群,集合S
生成的G
的子群
〈S〉
{akbm,
a,bS;k,mZ}有限生成群13Group循环群(cyclicgroup)由一个元素生成的群称为循环群.〈a〉={an|nZ}.若〈a〉是有限群,则〈a〉的阶也称为元素a
的阶,记为ord(a).若a
的阶为k,则am
=e当且仅当k|m.14Group问题
设G=<a>是阶为m的循环群.若H
是G
的子群,问H是循环群吗?元素ak
的阶为多少?设n
整除m,是否存在n阶子群?设n
整除m,G
中有两个子群阶等于n
吗?思考题:有限群一定是循环群吗?15Group循环群(cyclicgroup)定理
设H
是加法群Z的子群,则H
是循环群.进一步,H=<0>或H=<m>,其中m
是H
中的最小正整数.16Group关系
SS的一个子集R确定集合S
的一个关系等价关系反身性对称性传递性等价类,代表元同余,Z/(n)17模子群的同余关系设
H
是群
G
的子群,RH={(a,b)|ab1H}是
G
上的一个等价关系。a,
bG,若aRH
b,则称
a
模
H
同余
b,记为a
bmodH。设aG,在模
H
同余下,a
的等价类为集合aH={ah|h
H
},aH也称为H在G中的一个陪集。18Group模子群的同余关系|aH|
|Ha|
|H|正规子群H:对任意aG,有aH
Ha.
记G/H
是全体等价类构成的集合,则G/H
以及G/H
上的运算[a][b]=[ab]构成群,称为G
模H
的商群。19Group群同态(homomorphismofgroups)设G
和H
是两个群,
f:
GH
是群之间的一个映射.若对任意的a,
bG,有f
(a
b)
f
(a)
◦
f
(b),其中表示G上的运算,◦表示H上的运算,则称f
是G
到H
的一个群同态.单同态(monomorphism)、满同态(epimorphism)、同构(isomorphism)(G
H)20Group群同态(homomorphismofgroups)f
(1G)
1Hf
(a1)
(f
(a))1Ker
f
{aG
|
f(a)
1H}是群G
的正规子群
f
是单同态当且仅当Kerf={1G}Imf
{bH
|
存在aG满足b=f
(a)
}是H
的子群21Group群同态(homomorphismofgroups)若
N
是
G
的正规子群,则:G
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