正弦函数、余弦函数的图象 课件(人教A版必修四)

1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数的图象思考：怎样由y=sinx的图象得到y=cosx的图象？提示：只需将y=sinx的图象向左平移个单位即可得到y=cosx的图象.二、“五点法”作正弦函数的图象1.五点法作图的一般步骤2.五点法作正弦函数图象的五个关键点(0,0)，______，(π,0)，______，(2π,0).思考：利用五点法作正、余弦函数图象的关键是什么？提示：利用五点法作图的关键是抓住三角函数中的最值点以及与x轴的交点.【知识点拨】1.几何法和五点法作正、余弦函数图象的优缺点(1)几何法：就是利用单位圆中的正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法，该方法作图较为精确，但画图时较为烦琐.(2)五点法：是我们作三角函数图象的基本方法，在要求精度不太高的情况下常用此法.作图时要注意五个关键点的确定.2.y＝sinx,x∈［0,2π］与y＝sinx,x∈R的图象的关系(1)前者是后者图象的一部分.(2)结合诱导公式一可知，只需将函数y＝sinx,x∈［0,2π］的图象向右或向左平移2kπ(k∈Z)个单位即可得函数y＝sinx,x∈R的图象.3.“五点”的确定y=sinx,x∈［0,2π］和y=cos

x,x∈［0,2π］图象上的五个关键点，分别是图象与x轴的交点，图象上最高点和最低点.需注意的是前者与x轴有三个交点，图象上有一个最高点和一个最低点，后者与x轴有两个交点，图象上有两个最高点和一个最低点.

类型一正、余弦函数的图象

【典型例题】1.下列叙述正确的有()①y=sinx,x∈［0,2π］的图象关于点P(π,0)成中心对称；②y=cos

x,x∈［0,2π］的图象关于直线x=π成轴对称；③正、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围.A.0个B.1个C.2个D.3个2.对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解题探究】1.解答题1的关键是什么？2.解答正、余弦函数图象问题的依据是什么？探究提示：1.解答题1的关键是作出正、余弦函数的图象，由观察图象从直观上得函数性质.2.解答此类问题应以图象为依据，画出相应图象，观察图象解决问题.【解析】1.选D.分别画出函数y=sinx,x∈［0,2π］和y=cos

x,x∈［0,2π］的图象，由图象观察可知①②③均正确.2.选D.如图所示为y＝cosx的图象．可知三项描述均正确．【拓展提升】解决正、余弦函数图象的注意点对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.【变式训练】(2013·芜湖高一检测)关于三角函数的图象，有下列说法：①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；②y＝cos(-x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sinx|与y＝sin(-x)的图象关于x轴对称；④y＝cosx与y＝cos(-x)的图象关于y轴对称.其中正确的序号是_______.【解析】对②，y＝cos(-x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．答案：②④类型二用“五点法”作三角函数图象

【典型例题】1.用五点法作函数y=1-cosx，x∈［0，2π］的图象时，应取的五个关键点分别是_______.2.用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sinx－1，x∈［0,2π］.(2)y＝2＋cosx，x∈［0,2π］．【解题探究】1.五点法作图中的五个关键点分别是什么？2.函数y=sinx,y=cosx与y=sinx+m,y=cos

x+m的图象有什么关系？探究提示：1.五点法作图的五个关键点是2.y=sinx+m,y=cos

x+m的图象与y=sinx,y=cosx的图象形状、大小一样，就是位置不一样.【解析】1.由五点法作图可知，x应取的值分别是2π.此时y相应的取值是0,1,2,1,0，即五个关键点分别是答案：2.(1)列表：x0π2πsinx010-10sinx-1-10-1-2-1描点连线，如图(2)列表：

x0π2πcosx10-1012+cosx32123描点连线,如图【互动探究】题1中若函数为y=1-cos2x，其他条件不变，则五个关键点又分别是什么？【解析】令z=2x，则函数为y=1-cosz，分别令z=0，则此时y相应的取值是0,1,2,1,0，即五个关键点分别是【拓展提升】“五点法”作图的步骤作形如y=asinx+b(或y=acosx+b)，x∈［0,2π］的图象时，可由“五点法”作出，其步骤如下：(1)列表.取(2)描点.(3)连线.用平滑的曲线将各点连接成图.【变式训练】用“五点法”画出函数y＝3-sinx(x∈［0,2π］)的图象．【解析】(1)列表，如表所示：x0π2πsinx010-103-sinx32343(2)描点,连线,如图所示类型三正、余弦函数图象的简单运用

【典型例题】1.作出函数y＝-sinx，x∈［-π，π］的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sinx>0的x的取值区间是_______；②sinx<0的x的取值区间是_______.(2)直线与y＝-sinx的图象有_______个交点.2.求下列函数的定义域：【解题探究】1.如何由y=sinx的图象判断三角函数值的正负？判断图象交点个数的方法有哪些？2.利用正、余弦函数图象求解三角不等式的思路是什么？探究提示：1.作出正弦曲线，在x轴上方的三角函数值为R，在x轴下方的三角函数值为负.判断图象交点个数可以利用数形结合或解方程组的方法进行判断.2.先作简图，然后观察在哪个区域内不等式成立,进而求解不等式.【解析】1.利用“五点法”作图，(1)根据图象可知图象在x轴上方的部分sinx>0，在x轴下方的部分sinx<0，所以当x∈(-π，0)时，sinx>0；当x∈(0，π)时，sinx<0.(2)画出直线可知有2个交点．答案：(1)(-π,0)(0,π)(2)22.(1)要使有意义，则必须满足2sinx＋1≥0即结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数的定义域为(2)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象．在同一坐标系中画出［0,2π］上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在［0,2π］内，满足sinx＝cosx的x为再结合正弦、余弦函数的图象．所以定义域为【拓展提升】1.用三角函数的图象解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)作出直线y=a，作出y=sinx(或y=cosx)的图象.(2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值.(3)确定sinx＞a(或cosx＞a)的解集.2.利用三角函数线解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在的位置.(2)根据变化趋势，确定不等式的解集.【变式训练】1.函数y＝2sinx与函数y＝x图象的交点有_______个.【解题指南】准确在同一坐标系内画出两个函数的图象是解答此类问题的关键.【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2sinx与y＝x的图象可见有3个交点．答案：32.求函数的定义域．【解析】为使函数有意义，需满足即由正弦曲线或三角函数线，如图所示．所以定义域为【规范解答】与正弦函数有关的函数图象的作法【典例】【条件分析】【规范解答】由tanx≠0,得x≠kπ,k∈Z,又①…………3分所以…………5分所以函数的定义域为…………6分

………………8分在［0,2π］上，由得

②…………10分其图象如图所示：……………12分【失分警示】【防范措施】1.准确求三角函数定义域在求三角函数定义域时，除使得解析式有意义外，还要考虑三角函数本身的定义域，如本例正切函数y=tanx中2.准确作图画函数图象应注意与定义域和所给区间结合，不符合定义域内的点应用虚点画出，例如本例要求【类题试解】作出函数在［－2π，2π］上的图象.【解析】由于因此只需作出函数y＝|cosx|，x∈［－2π，2π］的图象即可．而函数y＝|cosx|，x∈［-2π，2π］的图象可采用将函数y＝cosx，x∈［－2π，2π］的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如图所示．1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx，x∈［0,2π］与y=sinx，x∈［2π,4π］的图象()A.重合B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称D.形状不同，位置不同【解析】选B.结合正弦曲线，可知函数图象形状相同，位置不同.2.已知则f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位，得g(x)的图象D.向右平移个单位，得g(x)的图象【解析】选D.f(x)=cosx，g(x)=sinx，故f(x)的图象向右平移个单位即得g(x)的图象.3.用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()【解析】选B.令得4.函数y＝