山西省吕梁市罗村中学2022年高二数学理期末试卷含解析

山西省吕梁市罗村中学2022年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列的前项和为,若,则的值等于（

）A．54

B．45

C．36

D．27参考答案：A略2.如果,那么下列不等式成立的是

（）A． B． C． D．参考答案：D略3.已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切，符合情况的切线l（）A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．不存在参考答案：D【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，讨论a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，设h（x）=exx﹣ex﹣1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．【解答】解：函数f（x）=x﹣的导数为f′（x）=1﹣e，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y=ex相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）=exx﹣ex﹣1，则h′（x）=exx，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．4.设，，，则（）．A．B．C．D．参考答案：D略5.已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m?β，则α⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在C中，m与n平行或异面；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；在B中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B正确；在C中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6.在下列命题中：①若、共线,则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线,则、一定不共面；③若、、三向量两两共面,则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、,则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z.其中真命题的个数为

(

)A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：A7.某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.A.36

B.37

C.41

D.42参考答案：B8.函数f(x)=log2(1?x)的图象为参考答案：A9.，为平面向量，已知，，则，夹角的余弦值等于（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据向量数量积的坐标运算，代入即可求得夹角的余弦值。【详解】根据向量数量积的运算，设，向量的夹角为则所以选A【点睛】本题考查了利用坐标求平面向量的夹角，属于基础题。10.将参数方程化为普通方程为（

）A

B

C

D

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在计算时，某同学学到了如下一种方法：先改写第项：，由此得，.相加得.类比上述方法，请你计算，其结果为

▲

．参考答案：略12.如图6：两个等圆外切于点C，O1A，O1B切⊙O2于A、B两点，则∠AO1B=

。参考答案：60°略13.如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___

__(写出所有正确命题的编号).①当时,S为四边形;②当时,S为六边形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为等腰梯形;⑤当时,S的面积为.参考答案：略14.设椭圆(a＞b＞0)恒过定点A(1，2)，则椭圆的中心到准线距离的最小值是

．参考答案：略15.已知实数x，y满足，若z=x+y的最小值是﹣3，则z的最大值为

．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（k，k），联立，解得B（﹣2k，k），由z=x+y，得y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过B（﹣2k，k）时，直线在y轴上的截距最小为﹣k=﹣3，则k=3．当直线y=﹣x+z过A（k，k）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2k=6．故答案为：6．16.过点、的直线的斜率为______________．参考答案：2略17.设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为

_.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx+1（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线是y=b，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；转化思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程即可得到a=0，b=2；（Ⅱ）求得导数，求得单调区间和极值、最值，由题意可得b＞2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+xsinx+cosx+1的导数为f′（x）=2x+sinx+xcosx﹣sinx=2x+xcosx，即有在点（a，f（a））处的切线斜率为2a+acosa，由切线为y=b，可得2a+acosa=0，a2+asina+cosa+1=b，解得a=0，b=2；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=0处取得极小值，且为最小值2．曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，可得b＞2．即为b的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及运算求解能力，属于中档题．19.已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：，恒成立.参考答案：（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【分析】（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论.【详解】（1），①当时，时，；时，在上单调递增，在上单调递减②当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减③当时，在上恒成立在上单调递增④当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）对，恒成立即为：，等价于：令，则时，；时，在上单调递减，在上单调递增令，则时，；时，在上单调递增，在上单调递减综上可得：，即在上恒成立对，恒成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系得到结论.20.已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，则有，解得：k=﹣，则直线l的方程为y=﹣x+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=﹣x+．21.已知过点A(1,1)且斜率为-m（m>0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q,过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S,求四边形PRSQ面积的最小值。参考答案：22.某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图，圆柱高为h，半径为r，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且h≥2r，假设其建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米4千元，设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）求y关于r的函数关系，并求其定义域