山西省吕梁市林枫中学高三数学理月考试题含解析

山西省吕梁市林枫中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．(－∞,－1)

B．(－∞,1)

C.

D．(0,1)参考答案：B2.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(

)A.20

B.30

C.40

D.50参考答案：B略3.已知集合，那么（

）A．[2,4)

B．(－1,+∞)

C．[2,+∞)

D．(－1,2]参考答案：A，所以.4.已知、是非零向量且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则与的夹角是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B5.重庆巴蜀中学高三的某位学生的10次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则该生数学成绩在内的概率为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A6.已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=ax+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=ax﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．【解答】解：令f（x）=0，得：ax﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：ax﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．7.集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：8.关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数参考答案：C【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．9.如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（

）A.

B.

C.

D.4参考答案：A略10.定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用几何概型计算公式，求出试验包含的全部事件对应的集合以及满足条件的事件A对应的面积，即可求得。【详解】试验包含的全部事件对应的集合是，满足条件的事件，如图所示，，，所以，故选A。【点睛】本题主要考查简单线性规划中可行域的画法和几何概型的概率计算。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线的焦点为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点．若则直线PF的方程为

。参考答案：或

12.有下列各式：，

……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_________________________．参考答案：13.已知函数，若不等式|f（x）|﹣mx+2≥0恒成立，则实数m的取值范围为．参考答案：[﹣3﹣2，0]【考点】绝对值三角不等式．【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题，然后数形结合即可求得最终结果．【解答】解：不等式即：mx≤|f（x）|+2恒成立，绘制函数|f（x）|+2的图象，则正比例函数y=mx恒在函数|f（x）|+2的图象下方，考查函数：y=x2﹣3x+2经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为，据此可得：实数m的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．14.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=

．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．专题：导数的概念及应用．分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．解答： 解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．15.．曲线在点处的切线斜率为

▲

.

参考答案：-116.已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为

．参考答案：【知识点】三角函数的定义；两角和与差的三角函数.

C1

C5【答案解析】

解析：设则,所以=，所以的最大值为.【思路点拨】利用以原点为圆心的圆上点的坐标，与过此点的半径所在射线的和x轴的正半轴所成的角的关系，得关于的函数，求此函数的最大值即可.17.将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是

．参考答案：17考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．解答： 解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：17．点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)已知函数的定义域是∈R,Z},且,,当时,.(1)求证:是奇函数;(2)求在区间Z)上的解析式;(3)是否存在正整数k,使得当x∈时,不等式有解?证明你的结论.参考答案：解析：(1)由得,所以是周期为2的函数.∴即为,故是奇函数.(2)当x∈时,.所以,当x∈Z)时,.(3)即为,亦即.令是正整数),则在上单调递增,而,∴在上无解,从而不存在正整数k,使得当x∈时,不等式有解.19.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）证明在上是增函数；（3）解不等式.参考答案：【知识点】奇偶性与单调性的综合．B3B4

【答案解析】（1）；（2）见解析；（3）。解析：（1）是（-1，1）上的奇函数

（1分）又

（2分）

（4分）（2）证明：任设x1、x2（-1，1），且则

（6分），且

又

即

（7分）在（-1，1）上是增函数

（8分）（3）是奇函数

不等式可化为即

（9分）又在（-1，1）上是增函数∴有解之得，（11分）∴不等式的解集为．（12分）【思路点拨】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明在上是增函数；（3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．20.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若

则是公差为的准等差数列．（1）求上述准等差数列的第项、第项以及前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，若，求的取值范围．参考答案：解：（1），

（2分）

（4分）（2）

①

②②-①得．

所以，为公差为2的准等差数列．

（2分）当为奇数时，；

（2分）当为偶数时，，

（2分）

（3）解一：在中，有32各奇数项，31各偶数项，所以，

（4分），．

（2分）解二：当为偶数时，，，……将上面各式相加，得．

（4分），．

（2分）21.已知函数()=，g()=+。（1）求函数h()=()-g()的零点个数。并说明理由；（2）设数列{}（）满足，，证明：存在常熟M,使得对于任意的，都有≤

.参考答案：解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：，记，则。当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，综上所述，有且只有两个零点。（II）记的正零点为，即。（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立；②假设当时，有成立，则当时，由知，，因此，当时，成立。故对任意的，成立。综上所述