工程力学64第3章轴向拉伸与压缩

工程力学

授课教师：韩志型土建学院力学教研室第3章

拉伸、压缩与剪切1§3.1

工程实例了解§3.2

拉压杆件的内力及内力图——轴力图重点掌握§3.3拉压杆的应力重点掌握§3.4

轴向拉伸与压缩变形计算虎克定律掌握§3.5

材料在拉伸和压缩时的力学性能掌握§3.6

拉、压杆的强度设计重点掌握§3.7应力集中的概念了解§3.8拉压杆的弹性应变能了解§3.9拉、压杆的静不定（超静定）问题了解第3章轴向拉伸与压缩8学时2§3.1

工程实例活塞杆3屋架结构中的拉压杆4塔式结构中的拉压杆56桥梁结构中的拉杆7轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、轴向拉伸与压缩的特点

轴向拉压的变形特点：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。§3.2

拉压杆件的内力及内力图——轴力图FFFF8二、轴向拉压杆的内力及内力图2、内力的计算方法——截面法求内力的一般方法是截面法。1、拉压杆的轴向内力——轴力

拉压杆的轴向内力，简称轴力，用FN

表示。①截开：②代替：

③平衡：FN=F

截面法的基本步骤：9FN

与截面外法线同向,为正轴力(拉力)FN

与截面外法线反向,为负轴力(压力)FN>0FNFNFN<0FNFN4轴力单位:N，kN3、轴力的正负规定FxFFFmmFxF10

轴力图——FN(x)的图象表示轴力沿轴线方向变化的图形称为轴力图。轴力图的X横坐标轴平行于杆件轴线，表示相应的横截面位置；纵坐标表示轴力值。如内力为轴向拉力，则画在X轴上方，反之，则画在X轴下方。轴力图中需标明(+)、(-)以表示拉压。FN2P3P5PP++–注：为画轴力图方便，求内力时常设拉力，如求出为正值，则画在坐标轴正向；如求出为负值，则画在坐标轴负向。11①反映出轴力沿截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。

轴力图的意义12（1）在采用截面法之前不允许使用力的可传性原理；（2）在采用截面法之前不允许预先将杆上荷载用一个静力等效的相当力系代替。注意：γlAγ13√√√×14√×××15图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、

P

的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：CD段：用截面1假想截开ABCD5P8P4PPOFN1DPCB段：用截面2假想截开CD4PPFN2[例3.1]16BCD8P4PPFN3ABCD5P8P4PPOFN4ABCD5P8P4PPAB段：用截面3假想截开OA段：用截面4假想截开17轴力图如图ABCD5P8P4PPO轴力图的特点：在集中力作用处轴力图发生突变，突变值=集中力

。FNx2P3P5PP++–18计算轴力法则：2.载荷代数值的符号：离开该截面为正，指向该截面为负（拉为正，压为负）3.轴力图突变：在集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于集中力的大小。

例:求截面2的轴力。ABCD5P6P3P2PO4P或：19轴力(图)的简便求法：自左向右:遇到向左的P（拉力），

轴力FN

增量为正；遇到向右的P（压力），

轴力FN

增量为负。3kN5kN8kNABCD5P6P3P2PO4P4P-P5P2P(+)(+)(-)(+)(-)5kN8kN3kN方向相同，走向一致

20例2.2

作图示杆件的轴力图，并指出|FN

|max|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN150kN100kN50kNIIIIII-100kNFN

x21解：x坐标向上为正，坐标原点在自由端。取距自由端为x的一段为对象，内力为FN(x)。x图示杆长为L，横截面积为A，容重为γ，在自由端受集中力P作用，方向如图，试画出杆的轴力图。PLQFN（x）FN（+）OxPxxP（2）画出杆的轴力图。[例3.2]

22§3.3

轴向拉压杆的应力FAM①平均应力：某范围内单位面积上内力的平均集度②

一点的应力（全应力）：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到2.

应力的表示一、应力的概念1.

定义：内力在截面上一点的集度称为应力。内力是代表一个截面上的合力或合力矩的大小，但截面上每一个质点所受力的大小无法用内力表示。23③全应力p分解为：垂直于截面的应力——“正应力”平行于截面的应力

——“切应力”pM应力分解的原因：正应力——引起构件的拉抻与压缩变形切应力——引起构件的剪切与错动变形24

4、应力的单位：Pa，kPa，MPa255、应力正负号的规定

（1）正应力：与截面外法线方向一致的正应力为正，反之为负。拉应力为正，压应力为负。

（2）切应力：以其对截面内任一点产生顺时针的转动效应则为正，反之为负。ss（+）ss（—

）ttτ’τ’

——正’——

负26问题提出：材料相同，横截面积不同的两根杆，哪根容易被拉断？PPFF二、拉压杆的应力

杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。两根杆的强度是否相同？27加载前（1）变形试验---等直杆受轴向拉力作用

abcd加载后PP

d´a´c´

b´1、拉（压）杆横截面上的应力（1）

横向线:ac和bd仍为直线,且仍然垂直于轴线;（2）纵向线:

ab和cd分别平行移至a'b'和c'd',且伸长量相等.现象：28亦即横截面上各点处的正应力σ都相等---均匀分布。（2）平面假设

变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.推论：

(1)等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力，只有正应力σ

。

(2)拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。29sFNFsFNF（3）横截面上的应力——正应力

式中,FN

为轴力,A

为杆的横截面面积,

的符号与轴力FN

的符号相同.当轴力FN为正（拉伸）时，正应力也为正，称为拉应力；当轴力FN为负（压缩）时，正应力也为负，称为压应力。30FFFF2、拉(压)杆斜截面上的应力变形试验：说明：斜截面上不仅有正应力还有切应力正方形变为矩形正方形变为菱形31设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkka解：采用截面法由平衡方程：Fα=PAα：斜截面面积；Fα：斜截面上内力；pα：斜截面上应力；

α：斜面与横截面的夹角，以横截面外法线转至斜面外法线逆时针转向为正。FaPkkapα32由几何关系：代入上式，得：斜截面上全应力pa与横截面上应力s的关系：PPkkaPkkaPa设横截面面积为A:Fα=P33PPkka斜截面上全应力：Pkkapa分解：tasaa正应力：切应力：正负号规定：拉正，压负顺时针转动趋势为正x轴逆时针转动为正34PPkkaPkkaPa讨论当=90°时，当=0°时，当=±45°时，tasaa(横截面上存在最大正应力)±

45°斜截面上存在最大切应力σ横截面上的正应力35√361、等直圆截面杆，若变形前在横截面上画出两个圆a和b，则在轴向拉伸变形后，圆a、b分别为（）。

A.圆形和圆形；

B.圆形和椭圆形；

C.椭圆形和圆形；

D.椭圆形和椭圆形。2、图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形a和b，则受力后正方形a、b分别变为（）。

A.正方形、正方形；

B.正方形、菱形；

C.矩形、菱形；

D.矩形、正方形。讨论√√37[例3.3]

直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大切应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：

38例题3.4

一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况、各段长度及横截面面积如图所示.已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力.解：（1）作轴力图50kN150kNFABCFF3000400037024021aa3950kN150kN（2）求应力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.FABCFF3000400037024021aa40FABC解：（1）计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12BF45°图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm×15mm的方截面杆。[例题3.5]41（2）计算各杆件的应力。[例题3.5]图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15mm×15mm的方截面杆。BF45°FABC45°1242力学性能：材料在外力作用下表现出的有关强度、变形方面的特性。§3.4

材料在拉伸和压缩时的力学性能铸铁低碳钢43一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；

2、标准试件：

拉伸：l/d=5或l/d=10，

常用d=10mm，L0=100mm的试件

压缩：常用高径比h/d=1～3l=10d或l=5dlddh443、试验仪器：万能材料试验机45二、低碳钢拉伸时的力学性质

低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。1、拉伸图(F-l

曲线)表示F和

l关系的曲线，称为拉伸图。ΔlFOefabc

拉伸图与试样的尺寸有关.462、应力应变曲线（σ—ε曲线）O屈服后A显著缩小屈服后l显著增大按上式计算出的σ和ε不能表示试样的真实应力和应变，故称为名义应力和名义应变。正应力

：正应变（线应变）ε

：为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把

l除以标距的原始长度l

，得到正应变.47p根据σ—ε曲线，将低碳钢的拉伸变形分为4各阶段：

（1）

弹性阶段

(0b)试样的变形完全弹性的.

fOf′hab点是弹性阶段的最高点.σe—eb弹性极限比例极限弹性模量此阶段内的直线段(oa)材料满足胡克定律

48（2）

屈服阶段(bc)

当应力超过b点后，试样的载荷基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服（或流动）。pfOf′habe屈服段最低点对应的应力称为屈服极限。

c

s

强度极限(ultimateStrength)屈服极限49pfOf′habec（3）强化阶段(ce)过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，

要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化

。e点是强化阶段的最高点，所对应的应力b

强度极限(ultimateStrength)be

s强度极限或抗拉强度50（4）

局部变形阶段（缩颈阶段ef）过e点后，试样在某段内的横截面突然急剧地收缩，出现颈缩现象，一直到试样被拉断。在这一阶段，使试样继续伸长所需要的拉力也相应减小。两个强度指标：屈服极限σs，强度极限σb

pfOf′habecbe

s513、卸载定律

若加载到强化阶段的某一点d停止加载,并逐渐卸载,材料在卸载过程中应力和应变是线性关系。这就是材料的卸载定律

。abcefOgf′hεd′de——

弹性应变p——塑性应变ep总应变：52在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,材料的比例极限将增高，延伸率将降低，这种现象称为冷作硬化。

4、冷作硬化abcdefOd′gf′h利用冷作硬化现象来提高材料在弹性范围内所能承受的最大载荷（承载能力）。53三、其他金属材料在拉伸时的力学性能T10A20Cr16MnH62Q235合金钢20Cr高碳钢T10A螺纹钢16Mn普通碳素钢

Q235黄铜H62与低碳钢相比共同之处:断裂破坏前经历较大的塑性变形不同之处：有的没有明显的四个阶段。54对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限表示。加载时材料产生的塑性应变达到0.2%时所对应的应力。55四、铸铁拉伸时的力学性能拉伸强度极限铸铁140MPa是衡量脆性材料拉伸性质的唯一强度指标。特点：无屈服和颈缩过程，试件突然拉断。塑性变形很小，断后伸长率约为0.5%,为典型的脆性材料56塑性材料δ≥5%脆性材料δ＜5%脆性、塑性及相对性塑性材料的强度失效——屈服和断裂失效应力：屈服极限σs、强度极限σb脆性材料的强度失效——断裂失效应力：

强度极限σb57五、低碳钢压缩时的s-e曲线

（2）压缩时无强度极限（1）拉压曲线的弹性阶段和屈服阶段完全重合故：弹性模量E

弹性极限σe

比例极限σP

屈服极限σS均与拉伸时相同。一般只需做拉伸实验即可测定这些力学指标。58六、铸铁压缩时的s-e

曲线

（1）铸铁压缩的强度极限与塑性指标都较拉伸时大，铸铁材料常被作为受压构件。

（2）铸铁试件受压破坏的断口为斜截面与轴线大致成450，说明破坏是因斜截面的切应力使材料产生滑移所致。σb压

=4σb拉，铸铁压缩破坏断口59七、材料力学性能的三类指标

两个塑性指标断后伸长率断面收缩率塑性材料脆性材料低碳钢ll1塑性材料优良60强度极限：

屈服极限：

强度指标弹性指标E61√62

讨论题

用三种不同材料（材料1、材料2、材料3）制成尺寸相同的试件，在相同的试验条件下进行拉伸试验，得到的曲线如图所示。比较三条曲线，可知拉伸强度最高的为材料

，刚度最大的为材料

，塑性最好的为材料

。

12363解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故，不可再应用“弹性定律”。应如下计算：[例3.6]

铜丝直径d=2mm，长L=500mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm，则大约需加多大的力P？由拉伸图知：64§3.5

轴向拉伸与压缩变形计算虎克定律长度为l的杆件受轴向拉力P作用,在纵向会发生伸长变形，变形后长度为l1。在横向会发生收缩变形，横向尺寸由b变形后长度缩短为b1。abcdl165杆的纵向变形△l符号规定：伸长为正，缩短为负l1abcd

杆的横向变形：纵向伸长，横向缩短;纵向缩短，横向伸长1、拉压杆纵向变形和横向变形计算

66线应变ε：单位长度线段的变化量。

纵向线应变：

线应变ε符号规定:伸长为正，缩短为负线应变ε为无量纲量。l1abcd横向线应变67

纵向线应变和横向线应变的关系、泊松比实验表明，当应力小于比例极限时,横向应变与纵向应变之比μ为一常数,μ

----称为横向变形系数（泊松比）“-”号表示纵向线应变和横向线应变的变形正好相反。泊松比是材料的弹性常数，由实验测定。682、拉压杆的弹性定律（虎克定律）（1）等内力拉压杆的弹性定律

PP在弹性范围内，杆的伸长（缩短）与轴力N、杆长l成正比，而与横截面积成反比，即（虎克定律）FNPx+轴力：692、拉压杆的弹性定律（虎克定律）

E---为弹性模量，表示材料抵抗变形的能力。

E的单位：Pa，或kPa，GPa，1GPa=109Pa；

E的量纲：[力]/[长度]2EA--杆的抗拉(压)刚度，反映杆件抵抗变形的能力，抗拉刚度越大，杆件越不易变形（虎克定律）702、拉压杆的弹性定律（虎克定律）

应力、应变关系（弹性定律）用应力应变表示的虎克定律表明，在弹性范围内，杆件上任意点的线应变与正应力成线性关系。将上式变为：（虎克定律）即：71等轴力等截面拉压杆

PP关于拉压杆变形计算公式：轴力FN、抗拉刚度EA在各段中分别为常量

③变内力或变截面

F1F2F3dxxxdxFN(x)72√73√74402010–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解:（1）求杆的总变形

画轴力图:[例3.7]

已知杆的长度、截面面积，受力如图。材料的弹性模量Ｅ＝2.1×105MPA,求:(1)杆的总变形;(2)杆横截面上的绝对值最大的正应力。75402010–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m76402010–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m（2）求杆横截面上的绝对值最大的正应力。绝对值最大的正应力：77[例3.8]

求自由悬挂的等直杆由于自重引起的最大正应力和总伸长。设杆的长度L、截面面积A，容重为γ，弹性模量E均为已知。xLQFN（+）Ox

xx解：x坐标向上为正，坐标原点在自由端。（1）计算轴力，画出杆的轴力图FN(x)γ78（2）计算杆内最大正应力

FN(x)xLQFN（+）O

xxγ（3）计算杆的伸长量

79C'怎样画小变形放大图？确定杆件变形后C点的位置C’变形图严格画法，图中弧线；分别以A、B为圆心，L1+△L1，L2+△L2为半径画弧，交于C’点求各杆的变形量△Li

，如图；变形图近似画法：图中弧之切线交于C”

小变形放大图与位移的求法ABCL1L2PC"80

例3.9

图示三角托架。AB为钢杆，A1=4cm2，E1=2×105MPa；BC为木杆，A2=100cm2，E2=10×103MPa，在A、B、C连接处均可视为铰接，荷载F=30kN。试求托架节点B的水平位移⊿H，竖直位移⊿V和总位移⊿。解：1.建立如图坐标系2.受力分析AB30oC30oF2myxFN1B30oFN2F3.计算变形①②81例3.9

图示三角托架。AB为钢杆，A1=4cm2，E1=2×105MPa；BC为木杆，A2=100cm2，E2=10×103MPa，在A、B、C连接处均可视为铰接，荷载F=30kN。试求托架节点B的水平位移⊿H，竖直位移⊿V和总位移⊿。3.计算变形4.计算位移ACB30o⊿l2H⊿l1DB’⊿H⊿VKG①②30o82课堂练习:

两根粗细相同的钢杆1、2上悬挂着一刚性水平梁AB，在梁上E点加一垂直压力F。若要使梁保持水平位置（不考虑梁自重），求加力点位置a。FFN2AEBFN12La得FN2=1.5FN1

∑ME=0：FN2(2L-a)－FN1·a=0

联立解得：a=1.2L解：83一、构件的强度失效与强度设计§3.6

拉、压杆的强度设计FABC45°12强度失效——脆性断裂、塑性屈服强度设计——将构件最大应力限制在允许的范围内，以保证其正常工作，不仅不发生强度失效，而且还具有一定的安全裕度。

84二、强度失效判据——极限应力σ0

材料能承受的最大应力称为极限应力。应力大于极限应力，材料就要破坏。极限应力通过材料的力学性能实验来测定。塑性材料脆性材料以强度极限

b为失效判据以屈服极限

s

为失效判据85保证构件不发生破坏并有一定安全余量，将极限应力除以大于1的安全系数，作为材料的许用应力[σ]。三、许用应力与安全系数塑性材料脆性材料ns

塑性材料的安全系数nb

脆性材料的安全系数塑性材料：ns=1.2~2.5脆性材料：nb

=2~3.5一般地：因为断裂破坏比屈服破坏更危险86其中：[]--许用应力，

max—危险点的最大工作应力。为了保证构件安全正常工作，构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力，这称为构件的强度条件，即四、强度条件（强度准则）对于等直杆：对于变截面杆：87利用强度准则可进行三种强度计算：五、三类强度计算问题①已知FN

、A和[σ]，校核强度：②已知FN

、[σ],设计截面：③已知A、[σ],确定许可载荷：

88强度计算步骤：1、受力分析，计算内力（轴力），确定危险截面3、强度计算2、计算危险截面上的应力注：在实际工程中，工作应力σmax略高于[σ]，但超出部分不足[σ]的5%，一般是允许的。89[例3.10]

已知一等直圆杆受轴向拉力P=50kN，直径d=18mm，材料为Q345钢，其极限应力0=340MPa，取安全系数n=1.5，求材料的许用应力，并校核此杆的强度。解：①许用应力：②最大工作应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。轴力：FN=P=50kN六、强度计算准则应用举例90[例3.11]

图示为可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车简图，其中斜拉杆AC由两根50mm×50mm×5mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC杆和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力[σ]＝120MPa。当行走小车位于A点时，求允许的最大起吊重量FW。杆和梁的自重可忽略不计。C91解（1）受力分析（2）计算二杆轴力（3）最大起吊重量FWAB杆:查型钢表10号槽钢：AAB=12.748cm2解得：92AC杆:查型钢表等边角钢：AAC=4.803cm2解得：为保证吊车安全，吊车的最大起吊荷载应取FWAB和FWAB中的较小者。于是93对本例的讨论：（1）该设计是否是最合理的设计？（2）怎样修正才能使其达到最经济合理？AB杆强度有富裕。分析：若令AB杆则可减小AB杆横截面积。省料减轻重量等强度设计94从新设计AB杆横截面尺寸。查型钢表：选5号槽钢就能满足要求。95§3.7

应力集中的概念一、应力集中现象杆件截面尺寸发生突然变化，应力分布不均匀。在切口处的应力急剧增加，离切口越远应力越趋于均匀，这种现象称应力集中。FFdbmaxFFFmax96式中：α——应力集中系数m——切口处的平均应力；σmax——峰值应力(切口处的最大应力称峰值应力)。二、应力集中系数α在常温静载下，常用应力集中系数来衡量杆件应力集中的程度.应力集中系数α大于1。971、形状尺寸的影响

尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。2、材料的影响塑性材料应力集中对塑性材料的影响不大。

当峰值应力

max达到

S时，该处应力不再增加，而应变可继续增加，这样就将所增加的荷载传递给相邻部分的材料去承担，在切口处截面上的应力逐渐部分地达到

S

，直至全部达到

S

，故不必考虑应力集中影响。脆性材料应力集中对脆性材料的影响严重。

峰值应力达到b时，材料在该处首先发生破坏。脆性材料内部的缺陷(杂质、气孔等)较严重，缺陷处也有应力集中现象，为使杆件安全地工作，采取适当加大安全系数的方法。三、应力集中的影响因素98§3.8拉、压杆的简单静不定（超静定）问题

1、超静定问题：单凭静力平衡方程不能求出全部未知量（外力、内力、应力等）的问题。一、超静定问题与超静定次数

2、超静定次数超静定次数

=

未知力个数

-独立的平衡方程数99§3.8拉、压杆的简单静不定（超静定）问题

3、超静定问题的处理方法平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。物理静力学几何++力和变形关系力变形++100平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——弹性定律；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。

超静定问题的方法步骤101CPABD123[例题3.12]

三杆用铰链