山西省吕梁市兴县魏家滩中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省吕梁市兴县魏家滩中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设（是虚数单位），则 (

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.在△中，内角的对边分别是若，，则A=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A3.设函数，则函数是（

） A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的偶函数。参考答案：B略4.已知等差数列的前n项和为An，等差数列的前n项和为Bn，且，则使为整数的所有n的值的个数为

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：答案:D5.函数的单调递增区间是(

)A．(－∞,1)

B．(－∞,2)

C．(2,+∞)

D．(3,+∞)

参考答案：D6.在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的是

A．（1）（3）

B．（1）（4）

C．（2）（4）

D．（3）（4）参考答案：D略7.已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是(A)(B) (C)(D)参考答案：8.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)

的图像如图所示．x－1045f(x)1221下列关于函数f(x)的命题：

①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的个数有A．4个

B．3个

C．2个

D．1个参考答案：D依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，依题意，结合函数f(x)的可能图像形状分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f(x)的图像向下平移a(1<a<2)个单位后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D．9.某几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．28π B．37π C．30π D．148π参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为大圆柱中挖去一个小圆柱，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体为大圆柱里面挖去一个小圆柱．大圆柱的底面半径为4，高为4，小圆柱的底面半径为3，高为3，∴几何体的体积V=π×42×4﹣π×32×3=37π．故选B．10.已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5,3,2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则。其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

参考答案：①③④当时，

，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.

12.公差不为零的等差数列的前n项和为是的等比中项，，则=______

参考答案：60略13.函数y=的定义域为

．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，得，即1＜x＜3或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，3），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．14.已知复数满足，则_____.参考答案：略15.（x2﹣x+2）5的展开式中x3的系数为．参考答案：﹣200【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x3项的系数．【解答】解：式子（x2﹣x+2）5=[（x2﹣x）+2]5的展开式的通项公式为Tr+1=?（x2﹣x）5﹣r?2r，对于（x2﹣x）5﹣r，它的通项公式为Tr′+1=（﹣1）r′??x10﹣2r﹣r′，其中，0≤r′≤5﹣r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．令10﹣2r﹣r′=3，可得，或，故x3项的系数为?22?（﹣）+?23?（﹣）=﹣200，故答案为：﹣200．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．16.设不等式组所表示的平面区域为M，若z=2x﹣y+2a+b（a＞0，b＞0）的最大值为3，则+的最小值为．参考答案：3【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式．【分析】①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x﹣y．平移可得直线过A或B时z有最值．得到a，b关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】解：画不等式组所表示的平面区域为M如图，画直线z=2x﹣y+2a+b，平移直线z=2x﹣y+2a+b过点A（1，0）时z有最大值3；则z=2+2a+b=3，解得2a+b=1，a＞0，b＞0，则+=（+）（2a+b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当b=，2a+b=1，即a=1﹣，b=时，表达式取得最小值．故答案为：3+2．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，基本不等式的综合应用，属于中档题．17.14．对于各数互不相等的整数数组(是不小于2的正整数)，对于任意，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于

.

参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.（I）求椭圆的方程；（II）坐标原点为，且满足，(i)求的取值范围；(ii)求的面积.参考答案：（I）由已知，于是

所以椭圆的方程为

…………3分

（II）设直线AB的方程为，设联立，得

----------①

…………6分

∵

……7分

=

……8分

……9分

又直线AB的斜率不存在时，所以的取值范围是.…11分

(ii)设原点到直线AB的距离为d，则.

……14分

19.(本小题满分13分)（Ⅰ）写出两角差的余弦公式cos(α-β)=

，并加以证明；（Ⅱ）并由此推导两角差的正弦公式sin(α-β)=

。参考答案：解：（Ⅰ）两角差的余弦公式

……1分在平面直角坐标系xOy内，以原点O为圆心作单位圆O，以Ox为始边，作角α,β，设其终边与单位圆的交点分别为A,B，则向量，向量,记两向量的夹角为，则

…4分(1)如果,那么，∴∴

……6分(2)如果,如图，不妨设α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以有同样有

…………8分（Ⅱ），

…………9分证明如下：把公式中的换成，得

………………13分20.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【知识点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定G10G11解析：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．

…………5分（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．设P(0，0，2a)（a＞0），则E(1，–1，a)，=(2，2，0)，＝(0，0，2a)，=(1，–1，a)．取m=(1，–1，0)，则m·=m·=0，m为面PAC的法向量．设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·=n·=0，即，取x=a，y=–a，z=–2，则n=(a，–a，–2)，依题意，|cos<m，n>|===，则a=2．

…………10分于是n=(2，–2，–2)，=(2，2，–4)．设直线PA与平面EAC所成角为?，则sin?=|cos<，n>|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．

…………13分【思路点拨】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．21.已知矩形ABCD中，，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C﹣BD﹣A，使AC=1（I）求证：DA⊥面ABC（II）求二面角A﹣CD﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出∠DAB=90°，DA⊥AC，由此能证明DA⊥面ABC．（Ⅱ）取AB，DB的中点O，N，则直线OC，ON，OA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C﹣BD﹣A，使AC=1，∴∠DAB=90°，，∴DC2=AC2+DA2，则DA⊥AC，又AB∩AC=A，∴DA⊥面ABC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知DA⊥面ABC，则平面CAB⊥平面ABD，又AC=BC，∠DAB=90°，取AB，DB的中点O，N，则直线OC，ON，OA两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，则，，，则，，，设平面BCD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，﹣1，﹣1），设平面ACD的法向量=