工程力学7第七章应力状态和应变状态分析

第七章应力状态和应变状态分析

主讲:符春生§7-1应力状态的概念一、点的应力状态1、什么叫一点的应力状态构件内不同截面上应力不同；经过一点不同方位截面上的应力情况不同。同一截面不同点的应力的也不同；FFxnTTτσ1σ3

一点处各方位截面上的应力情况的集合——该点的应力状态。2、为什么要研究一点的应力状态单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算σmax≤[σ]

τmax≤[τ]梁截面上的任意点的强度如何计算？分析材料破坏机理TTFFFF单元体sstt各面上的应力均匀分布相互平行的一对面上应力大小相等、符号相同3、怎么研究一点的应力状态满足：力的平衡条件切应力互等定理主平面：切应力为零的截面。主应力：主平面上的正应力

σ1、σ

2、

σ

3。当一个主应力不为零，其余两个主应力为零——单向应力状态。当两个主应力不为零，其余一个主应力为零——二向应力状态。当三个主应力不为零——三向应力状态/

空间应力状态。平面应力状态复杂应力状态二、主平面、主应力三、应力状态分类syzxytytxsysxtxtysx一、解析法:1.任意斜面上的应力abcdfenaayxsxsxsysytytytxtx§7-2平面应力状态分析tnbfe(设ef的面积为dA)α角以从x轴正向逆时针转到斜面的法线为正应力的符号规定同前列平衡方程：tnbfe——平面应力状态下任意斜截面上的σα和τα计算公式。tnbfe——平面应力状态下任意斜截面上的σα和τα计算公式。对于与ef

垂直的截面上的应力，

——任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数，切应力服从切应力互等定理。xy2、主平面、主应力σ1σ2令τα︳α＝α0＝0yx主单元体二、图解法(应力圆法)①②1.应力圆若以σ为横轴，τ为纵轴，则该圆的圆心在处，半径为。这样的圆——Mohr应力圆（莫尔圆）。2.作应力圆的方法COyxyx3.任意斜截面上的应力F

应力圆上点的坐标和斜截面上的应力有着一一对应的关系。naaECOyx4.主平面和主应力COFEA1A2

作应力圆时，应注意以下三个关系：

①点面对应关系：应力圆上一点，对应于单元体中某一截面。②起始对应关系：在应力圆上选择哪个半径作起始半径，应根据单元体的α角从哪根轴量。x轴~CD1半径,y轴~CD2半径。③转向、转角对应关系：俩者转向一致；当单元体为α时，应力圆上自起始半径量2α角。作应力圆量取线段OB1、OB2、B1D1和B2D2时，需根据单元体上相应的应力正负，量取正、负坐标。例1：图示单元体上，有σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。40°30°解：1°解析法例1续：图示单元体上，有σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。40°30°解：1°解析法σ1σ220.869.2例1续：图示单元体上，有σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。解：40°30°2°图解法COE1E2A1A32α020.869.2F1F232MPa=-=37MPa例2：图示单元体上，σx=10MPa，σy=-4MPa，试用图解法求α=-30°面上的应力。解:σ-30°

=

OF=6.5MPaτ-30°=EF=-6MPa10MPa4MPa30°作应力圆D1D260°EFcσoτ例3：图示单元体上，σx=-6MPa，τx=-3MPa，求主应力大小和主平面位置。(a)CO(b)22.567.5(c)解：（1）图解法。∠D1CA1=2α0=135°（2）解析法。σ1

σ3

1.24-7.24MPatan2α0=-2τx/σx=-1，α0=67.5oσ1=OA1=1.3

MPa，σ3=OA3=-7.25

MPa§7-3基本变形杆件的应力状态分析及主应力迹线的概念一、拉压杆件应力状态分析FFxnD1D2Oσ最大切应力出现在哪个截面上？BB′C2αE二、

扭转杆件应力状态分析TTnx最大正应力出现在哪个截面上？τσ1σ3D1D2σ1σ3Oσ90°bedcayyyyymmσeσaτbτcτdσdσbxxxxxbdcσ1σ3梁内任意一点的主应力为：

三、梁的应力状态分析qmabcdemF1F2bedcayyyyymmσeσaτbτcτdσdσbxxxxxbdc1、梁上任一点均有两个主应力，一个主拉应力，一个主压应力。2、主拉压应力的大小从梁顶（底）到梁底（顶）均连续变化。qmabcdemF1F2四、主应力轨迹线（迹线）的概念弯起钢筋纵向钢筋q受荷载作用的梁纵向平面内可画出两组曲线，其中一组曲线上每一点的切线方向是该点处主拉应力的方向，另一组曲线上每一点的切线方向则是主压应力的方向。这样的曲线就称为梁的主应力轨迹线。主拉压应力迹线的特点：中性层处（纯剪切应力状态），主应力迹线与轴线成±450；任一点的主拉应力迹线与主压应力迹线正交；梁底、顶（单向应力状态），主应力迹线平行或垂直于梁的上下边界线；剪力为零的截面（单向应力状态），主应力迹线平行或垂直于轴线；§7-4三向应力状态的最大应力一、一般三向状态zxy独立的应力分量有符号规定：τxy中，x表示所在平面（之法向），y表示应力指向。法向为坐标正向时，指向坐标轴正方向的应力为正；法向为坐标负向时，指向坐标轴负方向的应力为正。zxy二、主应力与主平面平面应力状态：必存在两个相互垂直的主平面空间应力状态：必存在三个相互垂直的主平面按大小记为σ1、σ2、σ3σmax=σ1，σmin=σ3τmax=（σ1

-σ3）/2三、最大应力EAFOBabcστ一、广义胡克定律单向应力状态下的胡克定律：§7-5

广义胡克定律、体积应变小变形、各向同性、线弹性条件下，叠加原理成立，因此单向应力状态下的横向应变：单向应力状态下的胡克定律：单向应力状态下的横向应变：所以引起

方向应变为引起方向应变为引起

方向应变为三向应力状态:广义胡克定律因为三个主平面相互垂直，所以对于一般的三向应力状态:zxy只要x、y、z相互垂直，广义胡克定律即成立。1.线应变只与正应力有关，切应力影响不计；2.切应变只与切应力有关，正应力影响不计。平面应力状态广义胡克定律用主应变表示主应力:例4：已知一受力构件中某点处为σ2=0的二向应力状态,测得两个主应变ε1=240×10-6,ε3=-160×10-6

。构件材料为Q235钢,弹性常数E=2.1×105MPa,ν=0.3。求:该点的主应力和主应变ε2。解:例5：在一槽形钢块内，放置一边长为10mm的立方体铝块。铝块与槽壁间无间隙无摩擦。当铝块受到合力为F=6kN的均布压力时，试求铝块内任一点的应力。铝块的泊松比ν=0.33；假设钢块不变形。解：F1010例6：已知杆表面与母线成-450方向的线应变ε-45°=260×10-6

、弹性常数E=200GPa、ν=0.3，直径d=80mm;求外力偶矩T。解：τσ1σ3TT45°=4.02kN.m例7：求图示拉杆在450方向的线应变。已知F、E、A、ν。σxx1y1解：σx1σy1σx=F/AFF45°二、体积应变dxdzdy单位体积的体积变化——体积应变：切应力不引起体积改变。因此对任意应力状态，有应力不变量——纯剪切应力状态如果结论：在任意应力状态下，一点处的体积应变与切应力无关;而与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力之和成正比;如果三个主应力之和为零，则体积应变为零，即体积不变。§7-6应变能和应变能密度一、定义弹性体在外力作用下，产生变形，外力在相应的位移上要做功，外力做的功以变形能的形式积蓄在弹性体内。应变能密度vε

：应变能Vε：不计能量损耗，应变能在数值上等于外力做的功。单位体积内的应变能，即应变能密度。二、轴向拉压杆件的应变能和应变能密度Fll1FAOBF△ld(△l)以上拉杆的应变能公式也适用于压杆，而应变能密度的公式则适用于所有的单向应力状态.应变能密度应变能三、三向应力状态的应变能密度（a）与单元体积变化相应的那一部分应变能密度——体积改变能密度vv

；与单元形状改变相应的那一部分应变能密度—形状改变能密度vd；=+体积应变θ为零体积改变能密度形状改变能密度§7-7

平面应变状态分析一、应力﹑应变xyαβ（以直角减小为正）xyoαx1y1直角x1oy1的改变二、平面上任意方向的应变D″1).线应变αABCDdxD′B′2).切应变对角线AD

转过到AD′D′B′αABCDdxD″2).切应变与AD垂直的微小线段AQ的转角QD′B′αABCD负号表示与转向相反D′B′αABCDQαABCDdyD’D"C’QαABCDQD′γxyD″三、主平面与主应变令γα︱α=α0