山西省临汾市阳关中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析

山西省临汾市阳关中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当a<0时，不等式42x2+ax-a2<0的解集为(

)(A){x|-<x<}

(B){x|<x<-}

(C){x|<x<-}

(D){x|-<x<}参考答案：B2.在△ABC中，，，且△ABC的面积为，则BC的长为（

）．A． B． C． D．2参考答案：A∵在中，，，且的面积为，∴，即，解得：，由余弦定理得：，则．3.抛物线的准线方程为，则的值为（）A. B. C.8 D.-8参考答案：B略4.在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知圆O：x2+y2=16和点M（1，2），过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，则四边形ABCD面积的最大值（）A．4 B． C．23 D．25参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F，推导出四边形OEPF为矩形，由OA=OC=4，OM=3，求出AC2+BD2=92，由任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的，求出当AC=BD时，四边形ABCD的面积取最大值．【解答】解：如图，连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEPF为矩形已知OA=OC=4，OM=3，设OE为x，则OF=EP==，∴AC=2AE=2=2，BD=2DF=2=2，∴AC2+BD2=92，由此可知AC与BD两线段的平方和为定值，又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的，当AC=BD=时四边形ABCD的面积最大值=23．故选：B．6.的值等于

(B)

(C)

(D)参考答案：C7.命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是(

)A．?x∈R，x2+1≤0 B．?x∈R，x2+1＜0C．?x0∈R，x02+1＜0 D．?x0∈R，x02+1≤0参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可．【解答】解：∵命题“?x∈R，x2+1＞0”∴命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是“?x0∈R，x02+1≤0”故选：D．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．8.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为(

)A.3 B. C. D.1参考答案：C9.2log510+log50.25等于()A.0

B.1

C.2

D.4参考答案：C10.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为

(

)A.4

B.8

C.9

D.12参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：略12.对于集合,定义，，设，则

参考答案：13.若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是．参考答案：（﹣2，2）∪（3，+∞）【考点】双曲线的标准方程．【分析】由已知得（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵程+=1表示双曲线，∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，解得k＞3或﹣2＜k＜2，∴实数k的取值范围是（﹣2，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣2，2）∪（3，+∞）．14.若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有

（填序号）参考答案：

①④15.若复数为纯虚数，则实数a的值等于

．参考答案：0根据题意，结合复数的概念可知，复数为纯虚数则有，，这样解得a=0,故答案为0.

16.在正三棱锥S﹣ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=，则此正三棱锥的外接球的表面积为．参考答案：36π【考点】球内接多面体．【分析】由题意推出SC⊥平面SAB，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥且侧棱SC⊥侧面SAB，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2，∴R=3，∴S=4πR2=4π?（3）2=36π，故答案为：36π．17.设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=

．参考答案：1【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数，其中为实数．

（1）若时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围．参考答案：（1）．当时，，从而得，故曲线在点处的切线方程为，即．（2）．由，得，令则令则，即在上单调递增．所以，因此，故在单调递增．则，因此的取值范围是．19.已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（2）若当m=0时，对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可；（2）问题转化为对一切x∈（0，+∞）恒成立，设，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+（1+m），因为f（x）在（1，+∞）上为单调函数，则方程lnx+（1+m）=0在（1，+∞）上无实根，故1+m≥0，则m≤﹣1．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则对一切x∈（0，+∞）恒成立．设，则，当x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）在（0，+∞）上，有唯一极小值h（1），即为最小值，所以h（x）min=h（1）=4，因为对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成成立，故a≤4．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．20.从原点O引圆的切线，切点为P，当m变化时，（1）求切点P的轨迹方程。（2）记P的轨迹为曲线C，判断直线与曲线C的位置关系，若相交，求出相交弦的长度。参考答案：解：（1）设切点P的坐标为（x，y），因为切线过原点，则

（）

，

的圆心M的坐标为（m，3），

则

由于圆M与直线相切，所以①

可化为②由①②可得P的轨迹方程为

（2）由（1）知，曲线C的圆心为C（0，0），半径，圆心到直线的距离d=2<r,

故曲线C与直线相交，设曲线C与直线交于AB两点，AB的中点为D，则，在，，故

略21.已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2＞e2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）问题等价于ln＞，令，则t＞1，，设，根据函数的单调性证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．（解法二）转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又g′（x）=，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．故g（x）极大=g（e）=；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须0＜a＜．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而g′（x）=﹣ax=（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，从而g（x）极大=g（）=ln﹣1，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大＞0，即ln﹣1＞0，所以0＜a＜．综上所述，0＜a＜．（Ⅱ