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山西省临汾市石必中学2023年高三数学文模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为(
)A.B.C.D.参考答案:B考点:双曲线试题解析:因为,所以,渐近线方程为
故答案为:B2.斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.参考答案:B略3.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上递减,则a的取值范围是(
)A.[-3,+∞]
B.(-∞,-3)
C.(-∞,5]
D.[3,+∞)参考答案:B略4.设实数满足条件且的最小值为,则的最大值为
(
)10
12
14
15
参考答案:A略5.已知定义在上的函数满足,且的导函数则不等式的解集为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C6.A.2i
B.-2i
C.2
D.-2参考答案:A故选A.
7.已知集合,,则集合等于(A) (B) (C) (D)参考答案:C,所以,选C.8.设a,b两条不同的直线,是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是(
)A.若,则
B.若,则C.若,则
D.若,则
参考答案:D9.已知A是数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】计算题.【分析】已知A是数集,“A∩{0,1}={0}”说明集合A中必有0元素,不含有1元素,利用子集的性质进行求解;【解答】解:若“A={0}”,可得“A∩{0,1}={0}∩{0,1}={0}”,若“A∩{0,1}={0}”,可得集合A中,0∈A,1?A,可以取A={﹣1,0}也满足题意,∴“A={0}”?“A∩{0,1}={0}”∴“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件,故选B;【点评】此题主要考查充分必要条件的定义以及子集的性质,是一道基础题;10.经过圆C:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为A.x-y+3=0
B.x-y-3=0C.x+y-1=0
D.x+y+3=0参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为.参考答案:3【考点】简单线性规划.【分析】由题意作平面区域,化简z=x﹣2y为y=x﹣,从而可得﹣是直线y=x﹣的截距,从而解得.【解答】解:由题意作平面区域如下,,化简z=x﹣2y为y=x﹣,﹣是直线y=x﹣的截距,故过点(3,0)时截距有最小值,此时z=x﹣2y有最大值3,故答案为:3.12.设函数,若函数有三个零点,则实数b的取值范围是____.参考答案:【分析】将问题转化为与有三个不同的交点;在同一坐标系中画出与的图象,根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点当时,,则在上单调递减,在上单调递增且,,从而可得图象如下图所示:通过图象可知,若与有三个不同的交点,则本题正确结果:【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题,关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题,通过数形结合的方式求得结果.13.动点在直角坐标平面上能完成下列动作:先从原点O沿正东偏北方向行走一段时间后,再向正北方向行走,但何时改变方向不定。假定速度为10米/分钟,则行走2分钟时的可能落点区域的面积是
。参考答案:14.复数________.参考答案:.考点:复数的计算.15.已知函数是偶函数,则实数的值为
▲
。参考答案:略16.的展开式中的常数项为
.参考答案:2略17.在中,若,则BC边上的高等于____________.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本题满分13分)腾讯公司2005年8月15日推出了下表所示的QQ在线等级制度,设等级为级需要的天数为,设等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496(1)求的值,并猜想的表达式(不必证明);(2)利用(1)的结论求数列的通项公式;.参考答案:解:(1)由表所给出的数据得,而于是猜测是以7为首项,公差为2的等差数列.所以
――――――――6分(2)由(1)知,当时,
―――――――――13分19.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x|+|x﹣|,A为不等式f(x)<x+的解集.(1)求A;(2)当a∈A时,试比较|log2(1﹣a)|与|log2(1+a)|的大小.参考答案:【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.【分析】(1)不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得A.(2)当a∈A时,0<a<1,可得|log2(1﹣a)|与|log2(1+a)|的符号,去掉绝对值,用比较法判断|log2(1﹣a)|与|log2(1+a)|的大小.【解答】解:(1)函数f(x)=|x|+|x﹣|,A为不等式f(x)<x+的解集.而不等式即|x|+|x﹣|<x+,即①,或②,或③.解①求得x∈?,解②求得0<x≤,解③求得<x<1.综上可得,不等式的解集为A={x|0<x<1}.(2)当a∈A时,0<a<1,1﹣a∈(0,1),log2(1﹣a)<0,|log2(1﹣a)|=﹣log2(1﹣a);1+a∈(1,2),log2(1+a)>0,|log2(1+a)|=log2(1+a);|log2(1﹣a)|﹣|log2(1+a)|=﹣log2(1﹣a)﹣log2(1+a)=﹣log2(1﹣a)(1+a)=﹣log2(1﹣a2)=;∵1﹣a2∈(0,1),∴>1,∴>0;∴|log2(1﹣a)|>|log2(1+a)|.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,对数的运算性质应用,比较两个数的大小的方法,属于中档题.20.(本小题满分12分)某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度(支持或反对),进行了如下的调查研究.全年级共有1350人,男女生比例为8:7,现按分层抽样方法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为,通过对被抽取学生的问卷调查,得到如下2x2列联表:
支持反对总计男生30
女生
25
总计
(I)完成列联表,并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关?(Ⅱ)若某班有6名男生被抽到,其中2人支持,4人反对;有4名女生被抽到,其中2人支持,2人反对,现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因.求其中恰有一人支持一人反对的概率。参考公式及临界值表:P(K2≥k0)0.100.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828
参考答案:解:(Ⅰ)列联表如下:
支持反对总计男生305080女生452570总计7575150计算得,所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关. ………………(6分)(Ⅱ)记6名男生为,其中为支持,为反对,记4名女生为,其中为支持,为反对,随机抽取一男一女所有可能的情况有24种,分别为其中恰有一人支持一人反对的可能情况有12种,所以概率为. ………(12分)21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E为AD的中点,异面直线AP与CD所成的角为90°.(Ⅰ)证明:△PBE是直角三角形;(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求二面角A﹣PE﹣C的余弦值.参考答案:【考点】MT:二面角的平面角及求法;LZ:平面与平面垂直的性质.【分析】(Ⅰ)由已知证明PA⊥平面ABCD,得PA⊥BE.再由已知证明四边形BCDE为平行四边形,得BE∥CD.结合CD⊥AD,得BE⊥AD.再由线面垂直的判定得BE⊥平面PAD,进一步得到BE⊥PE,得到△PBE是直角三角形;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,CD⊥平面PAD,则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角为45°,设BC=1,得AD=PA=2.在平面ABCD中,过A作Ay⊥AD.以A为原点,分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求得E,P,C的坐标,求出平面PEC与平面PAE的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PE﹣C的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:如图,∵AD∥BC,AD=2BC,∴四边形ABCD为梯形,则AB与DC相交.∵∠PAB=90°,∴PA⊥AB,又异面直线AP与CD所成的角为90°,∴PA⊥CD.∴PA⊥平面ABCD,则PA⊥BE.∵AD∥BC,BC=,∴四边形BCDE为平行四边形,则BE∥CD.∵∠ADC=90°,∴CD⊥AD,∴BE⊥AD.由BE⊥PA,BE⊥AD,PA∩AD=A,得BE⊥平面PAD,∴BE⊥PE,则△PBE是直角三角形;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,CD⊥平面PAD,则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角为45°,设BC=1,则AD=PA=2.在平面ABCD中,过A作Ay⊥AD.以A为原点,分别以AD、Ay、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则E(1,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0)..设平面PEC的一个法向量为.由,得,取z=1,得.由图可知,平面PAE的一个法向量为.∴cos<>=.∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值为.22.(12分)(2013?福建)已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R)(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
【专题】导数的综合应用.【分析】(1)把a=2代入原函数解析式中,求出函数在x=1时的导数值,直接利用直线方程的点斜式写直线方程;(2)求出函数的导函数,由导函数可知,当a≤0时,f′(x)>0,函数在定义域(0,+∝)上单调递增,函数无极值,当a>0时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,利用原函数的单调性得到函数的极值.【解答】解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),.(1)当a=2时,f(x)=x﹣2lnx,,因而f(1)=1,f′(1)=﹣1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y﹣1=﹣(x﹣1),即x+y﹣2=0(2)由,x>0知:①当a≤0时,f′(x
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