2020届山西省太原市高考数学二模试卷

2𝑚𝑖已知向，夹角为2𝑚𝑖已知向，夹角为，且|，|2，则向在量2020届山西省太原市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题共60.0分）

如果复数𝑚𝑖

是纯虚数，那么实数m等

B.

C.

D.

如果集合

，

，

，那么)

等于

B.D.对于程序：试问，若输入𝑚=，输出的数𝑚𝑚𝑚2𝑚𝑚𝑚IF

B.

C.

或

D.

上的投影是

3

B.

C.

D.

若实数满

，则曲线

与曲线

的

离心率相等

B.

虚半轴长相等

C.

实半轴长相等

D.

焦距相等

将正方体截去一个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图B.

年死亡人口年死亡人口C.

D.下面是年2018我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的柱状图：注出率

年出生人口年平均人口

人死亡率年平均人口

人口自然增长率人口出生率人口死亡率下面说法正确的B.C.D.

我国二孩政策的全面实施后，人口出生率不断提升年来，随着医水平不断提升，我国人口死亡率显著下降以来，我国人口增速逐渐放缓人口较年少8.

等于

2

B.

2

C.

2

D.

29.

若棱长的正四面体的4个点都在一个球面上，则该球的体积

B.

2

C.

4

D.

6

10.

直线2与线间距为

2

B.

C.

D.

211.

直线

与双曲线

有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围

111131111312.

C.实数x，y满

B.D.，的值范围

1

,1)

B.

C.

3

D.

,3二、单空题（本大题共4小题，20.0分13.14.15.

、将3封投入到两个信箱，则每个信箱都有信的概率为．由三条直线，，和线所成的图形的面积______．𝑖𝑛347°𝑐𝑜𝑠148°______．16.

已知奇函数(的象关于直线对时

(______．三、解答题（本大题共7小题，82.0分17.

已知

是首项为，公差的差数列，

为

的前n项．Ⅰ求项及；Ⅱ设

是项为1，公比为2的比数列，求数的通项公式及其前n项和

．18.

如图在棱中底面底面是角梯形，，是PB中点．

求：平平；若面的弦值为，直线与面成角的正弦值．19.

春节期间国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午940一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示中时间段9记区[：，：：20记[：：40记[例如：10点04分，记作时刻64估这车在：间段内通过该收费点的时刻的平均同组中的据用该组区间的中点值代表；为对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这车中抽取10辆再从这10辆中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：00之通过的车辆数为，求X的布列与数学期望；由数据分析可知辆在每天通过该收费点的时刻T服正态分其中可这辆在9：40之通过该费点的时刻的平均值近似代替可样本的方差近似代替同组中的数据用该组区间的中点值代，已知大年初五全天共有1000辆通过该收费点，估计在9：22之通过的车辆结保留到整．参考数据𝜎

；．

20.

抛物线

2

2𝑝的点为线C与线l的个交点的横坐标为4．Ⅰ求物线C的程；Ⅱ过F的线m与物线C交于，B两，，求线段的．21.

已知函

𝑎1

2若数在2时有极值，求值；若任时，恒立，求取值范围．

22.

在直角坐标系中直线l

的参数方程为

𝛼

为数以坐标原点为极点轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为

+𝑖

．求l

和C的角坐标方程；设(，l和相交于，两点，，𝑛的．23.

直线

交圆

于

两点，

是直径，

平分，交圆

于点，

作于

。Ⅰ求：

是圆

的切线；Ⅱ若，

的面积．极坐标系中，曲线

的极坐标方程为

，点

.以点O为点，以极轴为轴正半轴建立直角坐系为

的直线过

与线

交于

两点．

Ⅰ求曲线

的直角坐标方程和直线的数程；Ⅱ求

到

两点的距离之积．函数，Ⅰ证

；Ⅱ若等式

的解集非空，求的值范围．

𝑚𝑖𝑚𝑖)(1𝑚𝑖)𝑚𝑖𝑚𝑖)(1𝑚𝑖)𝑚𝑚【答案与析】1.

答：D解：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为且部不为求值解：

2221𝑚𝑚𝑚1𝑚

2

1𝑚1𝑚

32

𝑖是纯虚数，

2𝑚𝑚3

，解得或𝑚1．故选：D2.答：D解：题分析：

，

。故选。考点：集合的运算点评：集合有三种运算：交集、并集和补集。在运算前，本题先求补集，再求出交集。3.

答：D解：本题主要考查条件结构与分段函数，基础题型．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分函数

2𝑚𝑚𝑚,𝑚

的函数值．解：由图可知：该程序的作用是计算分段函

2𝑚1,𝑚𝑚,𝑚

的函数值．当输入时输出的是1．故选：D4.

答：A解：

，222222，22222221，解：由已知，向|||2⋅𝑏||||𝑏⋅=2，则

，

，向量

在向量

上的投影是

，

；故选．利用求模运算得到向−𝑏

而到向量与

的数量积到量夹角余弦，根据投影定义可得答案．本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，属基础题．5.答：D解：：双曲线

，则，，的实半轴长为，半轴长为

，焦距为，离心率为，曲线

的实半轴长为，半轴长为，焦距为，离心率为，此，两曲线的焦距相等，故选D．6.

答：D解：：俯视图是从上向下看得到的视图，结合选可知D符．故选：D俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．7.

答：解：根据题意结合图形，分析题目中的选项是否正确即可．本题考查了利用柱状图分析数据特征的应用问题，是基础题．解：对于A，2016年以来，人口出生率并不是不断提升的A错；

，球的体积为，球的体积为对于，2015年来，我国人口死亡率并没有显著下降错误；对于C，由形知年来我国人口增速逐渐放缓C确；对于，图形不能得出年口较2017减少D错．故选：．8.

答：B解：：原，2故选．先利用诱导公式对原式化简，进而根据两角和公式进一步化简即可．本题主要考查了两角和与差的余弦函数的应用，属基础题．9.

答：B解：：如图，将正四面体补形成一个正方体，正面体的外接球与正方体的外接球相同．正面体为，正体的棱长是1又球直径是正方体的对角线，设球半径是R，2

422

2故选：B．将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已正四面体的长为a求外接球的半径们可以构造出一个球的内接正方体再应用对角线长等于球的直径可求得．10.

答：B解：：直与直线2间距离为：

2

2

．故选：B．直接利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．

取值为取值为，11.

答：D解：题考查双曲线的简单性质，12.答：A解：：不等式组域如图，

表示的区

𝑦−1

的几何意义是可行域内的点与构成的直线的斜率问题．当取得时

当直线接近于与直线平时，

接近取值为1所以答案为

1

,故选．本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点原

33点构的直线的斜率范围．本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义．13.

答：解：14.

答：4解意条直线和曲线所围成图形的面积

3

4

|

．故答案为：4．利用定积分表示区域面积，即可得出结论．本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15.

答：

解：本题考查了三角函数的诱导公式的运用以及两角和与差的三角函数的逆用求值；灵活掌握公式解答本题的关键．首先将角的三角函数化为锐角三角函数，然后逆用两角和与差的三角函数公式求值．解：+𝑠𝑛32°𝑐𝑜𝑠13°𝑖𝑛32°𝑜𝑠13°𝑖𝑛13°𝑜𝑠32°𝑖𝑛32°𝑠13°sin(13°32°)𝑖𝑛45°；故答案为：．

𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛16.

答：3解：：图关于直线对是函数是周期的周期函数．

，故答案为：3．先由图象关于直对称得与函数条件结合起来，得是8为期的周期函数，从而，从而求出所求．本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和称性结合转化而来的，属于基础题．17.

答：：

是首项为19，公差为的等差数列𝑛𝑛𝑛是项为，差为的差数列其前项和为𝑛𝑛𝑎，𝑛𝑛𝑛

𝑛(𝑛

⋅(2

𝑛Ⅱ由意是项为，公比为等比数列，𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑛−1

，所以

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

解：题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．Ⅰ先据等差数列的通项公式和求和公式求．Ⅱ根等比数列的通项公式求的项公式，根中的𝑛𝑛

𝑛

求得，可知数

是由等差数列和等比数列构成，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求．

18.

答：见析解：平面ABCD平面ABCD∵.

.．又𝑃平PBC．平EAC，平面平PBC如，以点C为点，，，

分别为x轴轴轴方向建立空间直角坐标系0，，，，，𝑎，则

，

1，

，

.取·，为法向量．设y，为面EAC的法向量，则·，，，依题意〈

，|

于是，

1设线PA与面成角为，则

，〉

，即直线平面成角的正弦值为19.

答600辆在9时段内通该收费点的时刻的平均值×，即10点分结频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10车中，在10通过的车辆数就是位于时间分组中[这一区间内的车辆数，

464𝐶𝐶314𝐶𝐶2243𝐶𝐶13404𝐶𝐶4．464𝐶𝐶314𝐶𝐶2243𝐶𝐶13404𝐶𝐶4．即，以X可能取值为，1，23，4．所以

𝐶𝐶10

64𝐶10

8

64𝐶10

3)7

64𝐶10

𝑋64𝐶10

，所以的布列为XP

3735所以

3735由可，(30−0.32

，所以，估计在：～：一时间段内通过的车辆数，也就6通的车辆数，由～𝜎

，以，得(641864+，估计在：～：一时间段内通过的车辆数辆．解：利频率分布直方图直接求解这辆在～40时段内通过该收费点的时刻的平均值即可．结频率分布直方图和分层抽样的方法推出的可能取值为0，，求出概率，得到分布列，然后求解期望．由可，，明～

，到概率，即可求解在：～：22这时间段内通过的车辆数．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查正态分布以及频率分布直方图的应用考查分析问题解决问题，是中档题．20.答：：依题意点在物线上，，，所以抛物线方程

；Ⅱ由Ⅰ知，,，根据抛物线的定义知

，即，则2，

1111111111，根据抛物线对称性，不妨，，𝐵21所以直线的程为：，入

中

0，设(,，，又，

，根据抛物线的定义得

．解：题考查了直线与抛物线的综合，属中档题．Ⅰ根抛物线的定义可得；Ⅱ先据定义可得A的横坐标，再求出的纵坐标，从而可得直线m的方程，再代入抛物线可B的标，然后用定义可得AB．21.

答：：(1)

𝑎𝑥1

，

𝑎2

，函数在时极值，，𝑎0，𝑎

；由任时，恒立，可知𝑎

2𝑥

1

，下面证时

2𝑥

1

恒立，只需证明：

，只需证时，

．1)1，在上调递增，𝑔(0)恒立，时

2𝑥

1

恒立，

𝑥)𝑒𝜋22𝑥22𝑥𝑥)𝑒𝜋22𝑥22𝑥