2020-2021学年浙江省嘉兴市高二(下)期末数学试卷

20202021年浙江省嘉兴市二（下）期末学试卷一、单选题（本大题共10小题共40.0分

已知集0，1，2，，合，

，1，

B.

，

C.

，

D.

已知，复充分不必要条件C.充分必要条件

是数单位，“”“为虚数”B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

将，，，ab这5元素自左向右排成一行，要求字母ab都能排在两端，则不同的排法共有

种

B.

C.

种

D.

甲乙两支篮球队进行篮球总决赛，比赛采用“七局四胜制即先赢四局者为胜，比赛结，若两队在一场比赛中获胜的概率均为，则甲队以四比一战胜乙队的概率)

5

B.

C.

516

D.

函数

在区间上图可能是)B.C.D.

若实数x，y满，则

的大值是C.xy的小值是16设实数，机变量的分布列是：

B.D.

的大值是xy的最小值是第1页，共页

55𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛1𝜋55𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛1𝜋𝜋

P

则、值分别为C.

，

B.D.

，，8.设

，，，a，，c的小关系

B.

C.

D.

9.设函数(

，对于任意不等恒立，则实数a的取值范围是

B.

C.

D.

10.已知列

满足

𝑛+1

𝜇𝑛+1

𝜇(𝜇

下列判断错误的B.

当𝜇，存在非零常数，得是差数列当，𝜇，存在非零常，使得是比数列C.

当，𝜇时存在非零常，使得

是等差数列D.

当𝜇，存在非零常数，得

是比数列二、单空题（本大题共7小题，36.0分）11.若一等比数

有穷多项，并且它的公比q满|，称为无穷递缩等比数列，规定：𝑛无穷递缩等比数，，

，

𝑛

，所有项的和

，𝑛

.

《庄子天篇中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中隐含了关系：𝑛−1可以将一个无限循环小数表示为分数0.151515⋅______．

，似12.设复满足

是数单，则，．13.已知

7

7

7

𝑖____________．14.设函𝑖𝑛2𝑖𝑛

，则的最小正周期_，区间,]

上的值域是_____．15.已知子中装有编号为～的个球为的个绿球和编号的3个黄球共10个，这些球除了编号和颜色外均相.从盒子中随机取出3个则取到的这个球编号均不同且三种颜色齐全的概率是_．第2页，共页

16.已知数(

2

与

𝑏

的图象在交点处的切线互相垂直的最小值为_．17.已知

均为单位向量，，

共面的向量足||2，

，则

⋅

的最大值是_．三、解答题（本大题共5小题，74.0分）18.在中角，，的边分别为a，b，且2𝑎．Ⅰ求B的小；Ⅱ若，的积，eq\o\ac(△,)的长．19.如图三柱𝐶

中面平面ABC侧是正方形，2，Ⅰ证：；

，是

的中点．Ⅱ求线与面所成角的正弦值．第3页，共页

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛20.𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

的前n项𝑛

，且

𝑛∈𝑛𝑛

．Ⅰ求列的通项公式；𝑛Ⅱ数列满足𝑛

𝑛

，记

，证明

．21.如图在平面直角坐标系xOy中，已知抛物

𝑝的点，点F的直线交C于A，B点其中点A位第一象限)，点是物线C上一点，且满足，接，．Ⅰ求物线标准方程及其准线方程；Ⅱeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)𝐴的积分别，，⋅𝑆

的最小值及此时点A的标．第4页，共页

22.已知数(

在上有零

，其中是然对数的底数．Ⅰ求数a的值范围；Ⅱ记是数导函数，证明：．第5页，共页

{{1.

【答案【解析】解：集，，2，合，𝐵0．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案【解析】解复

是虚数单位为虚数，，，是为虚数的充分必要条件，故选：A．根据纯虚数的定义解得，再利用充分必要条的定义即可判断出结论．本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.

【答案C【解析】解：根据题意，分步进行分析：将、2、3三数字排好，

种法，排后，除去两端，有空位可用，在其中任选，安排字母a有2种安排方法，好后，除去两端，有空位可用，在其中任选，安排字母b，有种排方法，则a、安排方法有，故a，不能排在两端的排法有种故选：．根据题意，分2步析数字、2、3和母a排法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．第6页，共页

4242，222

【答案D【解析】解：甲队以四比一战胜乙队的情况是前四局中甲三胜一负，第五局甲胜，甲以四比一战乙队的概率为：()222

．故选：D．甲队以四比一战胜乙队的情况是前四局中甲三胜一负，第五局甲胜，由此利用相互独立事件概乘法公式能求出甲队以四比一战胜乙队的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案【解析】解：根据题意，

2

，定义域为，有(

2

𝑖𝑛2𝑥，奇函数，排，在区间

𝜋2

,上，，除，故选：B．根据题意，先分析函数的奇偶性排除CD，再分析区间

𝜋2

,上(的号，排除，可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、单调性的分析，属于基础题．6.

【答案D【解析】解：因

2

，有

2

4，22所以故，2当2时，，此时，y为程222×1，方程有解，因(故当时xy有小值，2所以选项，，错误，选项D正．故选：D．第7页，共页

2

的个根，

𝑎𝑎1×=−．))．222，函数𝑎𝑎1×=−．))．222，函数在上增函数，，532358，即53

2

，后利用平方和大于等于构造不等关系求解即可．本题考查了最值问题的研究，解题的关键是将已知的等式进行化简变形，考查了逻辑推理能力转化化归能力，属于中档题．7.

【答案【解析】解；由题意可知：，解𝑎，23所以

23352333故选：A．利用分布列的性质求解，然后求解期望与方即可．本题考查离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差的求法，是基础题．8.

【答案C【解析】解𝑎

，33，𝑎>，223323

，

885523225

，𝑎，2𝑎>，故选：．利用对数函数和幂函数的单调性，借助中间量判断即可比较，bc的小本题考查对数函数和幂函数的单调性和数值大小的比较，属于基础题．9.

【答案【解析】解：因

2

2𝑎𝑎

2𝑎3𝑎)2

2𝑎，以[𝑎，所以恒立等价于在间𝑎+上成立，当2𝑎3，𝑎

时，显成立；2第8页，共页

33)或3333𝑛+1+3𝑛+1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛+133)或3333𝑛+1+3𝑛+1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛+1𝑛+1𝑛𝑛3𝑎3𝑎𝑛𝑛𝑛3即𝑡时，，时是公比为的等比数列，𝑛𝑛当时，有个零点，33只要满足，，解得，又，所以

，综合可，a的值范围．故选：B．由条件可知在间3,上成立，然后及讨即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．10.

【答案C【解析】解析：当，时

𝑛+1

𝑛

，

𝑛

是等差数列，，选正；当，时

𝑛+1

𝑛

，

𝑛+1

，𝑛

𝑛

是项为，公比为等比数列，项正确；当时

𝑛+1

，即，1𝑛𝑛𝑎𝑛

+3

𝑎+3)

常数，对何非零常数，

不可能是等差数列，选错；当，时𝑛+1

3𝑛

，

𝑎+𝑡+3𝑎+3𝑎+𝑡+3𝑎+3

𝑛

𝑛

⋅

𝑡+3

𝑛，𝑡+3当

3选项正．故选C从等差、等比数列的定义出发，假设结论成立，通过待定系数的方法判断非零常数t本题考查等差、等比数列定义的应用，属于中档题．

是否存在．11.

【答案】1

533第9页，共页

是以,,,,【解析】解：数列为首项，以为公比的等比数列，所以,,,,数列1是以,,,,【解析】解：数列为首项，以为公比的等比数列，所以,,,,数列1，，(22𝑟7𝑟+1734424𝑛1222𝑛1

12

12

，

151001100

33

，故答案为：；3324𝑛1

．,是

为首项，以为公比的等比数列，所以第一空利用22

，𝑛可求答案，第二问⋅看

，结合新定义求解即可．本题考查数列的新定义，考查类比推理，属于基础题．12.

【答案】

225

【解析】解

𝑖𝑖(2𝑖)1+2𝑖𝑖(2+𝑖)(2𝑖)

𝑖

，

2

𝑖𝑖，

2则

2

，2

．故答案为：

225

，．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则轭数的定义的计算公式查推理能力与计算能力于础题．13.【答案【解析】解：令，(2)

7

；二项式的展开式的通项公式

7𝑟(2)

𝑟

，所以

(2)

3

．故答案为：；．令，可求得；用二项展开式的通项公式即可求．第10页，共18页

，10本题主要考查二项式定理，考查特定项系数的求法，属于基础题．，1014.

【答案【解析】解𝑖𝑥𝑖

𝑖𝑥𝑖𝑥𝑖𝑥，6的小正周期为,4，,6

，𝑥，6𝑖𝑥6

，在间,上的值域是．4故答案为：，．运用三角函数的二倍角公式和两角差公式原式化简为

6

再结合周期公式和值域求解的方法，即可求解．本题考查了三角函数的二倍角公式和两角差公式值域的求解要学生熟练掌握公式于础题．15.

【答案】10【解析】解：从盒子中随机取出球，基本事件总

，取到的这个编号均不同且三种颜色齐全包含的情况有两种：取4号球包含的基本事件有

，没取到号红球含的基本事件有

，取的这3个编号均不同且三颜色齐全的概率是：120

10

．故答案为：．10第11页，共18页

310330，0)，所以310330，0)，所以3最

取到的这个编号均不同且三种颜色齐全包含的情况有两种：取到红球包含的基本事件有

，没有取到4号球包含的基本事件有：，此能求出所求概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.

【答案

【解析】解：因和(都偶函数，不妨研究两图象在第一象限内的交点，当0时，

,，2设交点的横坐标，于是

00⋅𝑥00消去得

3

，当时，不等式等号成立，所以的小值．故答案为：．先结合题意建立方程得到，b的系，再把消成一个变量，进而可求最小值．本题考查导数的几何意义，考查二次函数的性质，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于档题．17.

【答案】3【解析解将|两平方得⋅如图则，C轨迹是M为心半径的圆，再以为圆心作单位圆，由⋅0，得，所以当点C在圆运动时，点B的迹是两段弧，即弧弧EF最，

，记，𝜃当CN与圆相切时，最，

，此时根据相似，，

，所以3

的最大值是．3第12页，共18页

22，又，所以故答案为：．将|2两平方得如作

则，点轨迹是M为心2为径的圆，再以A圆心作单位圆，再结合相应图形和已知进行分析可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于难题．18.

【答案】解Ⅰ𝑠，由正弦定理，得2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑠，即𝑖且，

2

．Ⅱ的面积√，𝑖，得，2又由余弦定

2

2

2

2，得

2

，即，eq\o\ac(△,)𝐴的周长为．【解析】Ⅰ利正弦定理，通过边化角，转化求解B的弦值，求解即．Ⅱ结三角形的面积公式以及余弦定理求，后解周长即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.

【答案Ⅰ证：在平

内过点作

，垂足为D平面平面ABC平面，，又侧

是正方形，

，𝐴，平面

，即，，．第13页，共18页

111111Ⅱ解：一几法：连交

于E，取的点F，连EFMF，则，

2

，

是平行四边形，2，，四形

是菱形，，又(Ⅰ知，平

，，平，而

，即平面

，就直与平所的角，在𝑡

中，，，，则

，所以直线

与平所成的正弦值是．或取BC中N，通过𝐴转，中同样可求二坐法：根Ⅰ，点D为点，如图建立空间直角坐标系，2，，且侧

是正方形，四形

是菱形，设，H分，在底面上的射影，连GH，DH，则矩形，0，，，𝐵(2,1，，，𝑀(1,2,，，√，设平面

的向量为，则{，即{，，设直线

与所成角为，则

，所以直线

与平所成的正弦值是．第14页，共18页

，，2𝑛【解析Ⅰ在面

内过点作

，足为D证，平面

，然后证明

．Ⅱ一几法交

于取的点F连EFMF说明就直与平面所成的角，通过求解三角形推出结果即可．二坐法：以点为点，如图建立空间直角坐标系GH分

M在面上的射影，连HDH，

为形，求出平面的向量，利用空间向量的数量积求解直与平面所的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，化思想以及计算能力，是中档题．20.

【答案】解Ⅰ当时，得，当时两式相减得

，

，

，

，{是项为差为的差数列，

．Ⅱ证：一错相减法：

𝑛

，3

2

3

𝑛+1

两式，减得，

2

𝑛

𝑛+1−1

𝑛+1

，即

3

𝑛−1𝑛

−

𝑛+3𝑛

，所以，

3．第15页，共18页

(𝑛，𝑇𝑛2242𝐵22442𝑡𝑡2412𝑡22222(𝑛，𝑇𝑛2242𝐵22442𝑡𝑡2412𝑡22222二裂法𝑛

𝑛1𝑛

𝑛2𝑛1

𝑛3𝑛

，𝑛

340

422

𝑛22𝑛1

𝑛3𝑛

3

𝑛3𝑛

．【解析】Ⅰ利已知条件推

𝑛1

，即可判断数列是的等差数列，然后求解通项公式．2Ⅱ一错相减法𝑛

23𝑛122𝑛

23𝑛1223𝑛1

，式，结合等比数列求和公式，推出结果即可．二裂法：化𝑛

𝑛1𝑛

𝑛2𝑛1

𝑛3𝑛

，然后求和推出结果即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法的应用，考查转化思想以及计算能力，是档题．21.

【答案】解Ⅰ物线的点(0,1)2，即抛物线C的准程准线方程为．

2

4，Ⅱ一设法：设

2

，直线AF的程为：

4𝑡4

，联立

24

，得

2

4

40，

，所以

𝐵

2

4

2

2=，42又

𝑂𝐴

由，

：

，联立

2

，得

,，2点E到直线AB的离

41422√4

3(1)2414

12(𝑡𝑡(4𝑡2

，的积2

3(423

2

，而

2，2

3(4𝑡2

2

2

2

当且仅当时取到等号，此时点坐标2．2二设法：设直线的程为：，联立

2

，得

2

4，设,，，2第16页，共18页

2𝑦11162111664𝑥21211222，122，1221221，1122122，而12𝑦11162111664𝑥21211222，122，1221221，1122122，而11222112364222则，|2

||2，又

111

，由，𝑙𝑦=

，联立

2𝑦𝑦=

，得,，点E到直线AB的离为

1𝑥2

−16，1又

，得

21的积622

1而由

，

，

2(16

61⋅121

+16)2321

，所以

1

2