山西省临汾市侯马祥平中学2021年高三数学理联考试题含解析

山西省临汾市侯马祥平中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：∵去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，每位同学选择每一条线路的可能性相同，∴这两位同学选择同一条路线的概率为p==．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．3.已知集合，，则（

）A． B．{－2}

C．{3}

D．{－2,3}参考答案：B4.设变量满足约束条件，则的最小值为（

）.A.-3

B.-1

C．13

D．-5参考答案：A

【知识点】简单线性规划E5解析：画出约束条件

的可行域如下图:易知当直线经过C(3.-3)时，取得最小值，最小值为-3，故选A.【思路点拨】先画出约束条件

的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．5.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：【答案】B【解析】【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】解：由题意可知z1=﹣2﹣i，z2=i．∴===﹣1+2i，复数对应的点位于第二象限．故选B．【点评】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．6.已知等比数列则前9项之和等于（）

A．50

B．70

C．80

D．90参考答案：B

略7.设集合，则（

）A．(－2,1)

B．(－2,3)

C．(1,2)

D．(2,3)参考答案：D8.曲线+的离心率为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：B略9.在中，若,则的面积(

)A、

B、

C、

D、参考答案：改编自2014福建理科高考12题，考查三角形的解法和面积公式，答案C10.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中（

）A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点

B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少过两个有理点

D．每条直线至多过一个有理点参考答案：C设一条直线上存在两个有理点，由于也在此直线上，若，则为无理数与有理点予盾，所以，于是，又由于为无理数，而为有理数，所以，于是，所以直线只有一条，且这条直线方程只能是，故正确的选项为C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，求

参考答案：略12.设（2x+1）5+（x﹣2）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=．参考答案：考点： 二项式系数的性质．专题： 二项式定理．分析： 由题意可得，a2就是x2的系数，再根据二项式的展开式的通项公式可得x2的系数为+，计算求得结果．解答： 解：由题意可得，a2就是x2的系数，再根据二项式的展开式的通项公式可得x2的系数为+=40+24=64，故答案为：64．点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13.复数z=1+在复平面上对应的点到原点的距离为．参考答案：略14.如图是函数图像的一部分，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：15.已知，则的取值范围为

．参考答案：由题意得，令，则，且，所以，，即.16.已知向量，，且，点在圆上，则等于

．参考答案：向量，，（n＞0）且，∴﹣m+2n=0，①∴点P（m，n）在圆x2+y2=5上,∴m2+n2=5，②，由①②可得m=2，n=1，∴=（2，2）=（﹣1，1），∴2+=（3，5），∴|2+|=，故答案为：．【考查方向】考查向量数量积的坐标运算，曲线上点的坐标和曲线方程的关系，代入法解二元二次方程组，向量坐标的数乘和加法运算，根据向量坐标可求向量长度．【易错点】向量垂直的条件，点在线上的应用。【解题思路】根据条件即可得到关于m，n方程组，这样由n＞0便可解出m，n，从而得出向量的坐标，进而得出向量2+的坐标，从而可求出向量的模．17.设函数，若互不相等的实数，满足，则的取值范围是_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．（1）求，的值；（2）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；（3）求证：（，）参考答案：解：（1）

，依题意，得，即，.

∵

，∴.

……4分

（2）令，得.

…………5分

当时，；当时，；当时，.

又，，，.

因此，当时，.…8分

要使得不等式对于恒成立，则.

所以，存在最小的正整数，使得不等式对于

恒成立.

…………9分

（3）

解：由（Ⅱ）知，函数在[-1，]上是增函数；在[,]上是减函数；在[，1]上是增函数.又，，，.

所以，当x∈[-1，1]时，，即.

∵，∈[-1，1]，∴，.

∴.…………11分

又∵，∴，且函数在上是增函数.

∴.

…13分

综上可得，（，）.……………14分19.在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn=n2．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=，求数列{bn}中的最小项及取得最小项时n的值．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由Sn=n2，可得当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出an．（2）bn===，可得当n≤12时，数列{bn}单调递减；当n≥13时，数列{bn}单调递增．即可得出．【解答】解：（1）∵Sn=n2，∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．当n=1时，上式也成立．∴an=2n﹣1．（2）bn===，当n≤12时，数列{bn}单调递减；当n≥13时，数列{bn}单调递增．而b12==b13．∴当n=12或13时，数列{bn}取得最小项．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（12分）函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若将函数按向量＝平移后得到函数，而且当时，取得最大值，求的值.参考答案：解析：（I）解:

……………4分

∴函数的周期

…………6分（II）解:依题意，

…………8分

令，得

…………12分21.已知，，其中正整数．（1）求证：对于一切的正整数，都有；（2）求的最小值，其中约定参考答案：（1）证明：对于一切的正整数，．5分（2）由不等式知

……10分

……15分当时，等于成立，所以有最小值．…20分22.设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性； （Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】开放型；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性； （2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=﹣a=， 若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， （Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上