山东省青岛市第十九中学2023年高一数学理期末试题含解析

山东省青岛市第十九中学2023年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．2.下列函数中，是偶函数的是(

)．

．．

．参考答案：A略3.已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则f（2）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：D【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过x=2与x=﹣2代入已知条件，解方程组即求出f（2）．【解答】解：函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，则2f（2）+f（﹣2）=3×2+2=8，2f（﹣2）+f（2）=3×（﹣2）+2=﹣4，消去f（﹣2）可得3f（2）=20．解得f（2）=．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，抽象函数的应用，考查计算能力．4.若一个圆柱及一个圆锥的底面直径、高都与球的直径相等，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（

）A.3：2：1；

B.2：3：1；

C.3：1：2；

D.不能确定。参考答案：C略5.把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则这三段能构成三角形的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A． B．2m＞2nC． D．log2m＞log2n参考答案：C【考点】不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．【解答】解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为C．【点评】指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质．7.如果一个函数满足：（1）定义域为R；（2）任意，若，则；（3）任意，若，总有,则可以是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.求下列函数的定义域（1）；

（2）参考答案：（1）

（2）9.幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（）的值为（）A． B． C． D．1参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由已知先求出函数的解析式，将x=代入计算，可得答案．【解答】解：∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），∴8a=2，解得：a=，∴f（x）=，∴f（）=，故选：C10.已知各项不为0的等差数列{an}，满足，数列{bn}是等比数列，且，则A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：B根据等差数列的性质得：，变为：，解得（舍去），所以，因为数列是等比数列，所以，故选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的值为_____参考答案：12.在等比数列中，，则

☆

．参考答案：13.设函数与在区间上都是减函数，则实数a的取值范围是

．参考答案：14.已知函数在上是减函数,则实数a的取值范围是

参考答案：15.已知为第二象限角，，则

参考答案：略16.要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移个单位．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2（x﹣）的图象，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），故把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（2x﹣）的图象，故答案为．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于中档题．17.设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__．参考答案：由已知,是与的等比中项，则则，当且仅当时等号成立故答案2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分，第1问5分，第2问7分）已知函数是二次函数，不等式的解集为，且在区间上的最小值是4.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，若对任意的，均成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）解集为，设，且对称轴，开口向下，，解得，；……5分（Ⅱ），恒成立即对恒成立化简，即对恒成立……8分令，记，则，二次函数开口向下，对称轴为，当时，故………………10分，解得或……………………12分19.已知集合，．（1）分别求：，；（2）已知，若，求实数的取值集合．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

参考答案：：（1）

……………3分

………6分（2）

……………10分

20.某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4． （Ⅰ）列出样本的频率分布表； （Ⅱ）估计成绩在85分以上学生的比例； （Ⅲ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率． 参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本的频率分布估计总体分布． 【分析】（Ⅰ）根据题意计算可得[90，100]一组的频数，根据题意中的数据，即可作出频率分布表； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，成绩在[85，100）的学生数，再结合题意，计算可得答案； （Ⅲ）根据题意，记成绩在[40，50）上的2名学生为a、甲，在[90，100）内的4名学生记为1、2、3、乙，列举“二帮一”的全部情况，可得其情况数目与甲乙两名同学恰好在同一小组的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，[90，100]一组的频数为50﹣（2+3+14+15+12+4）=4， 作出频率分布表如下： 分数频数频率[40，50）2[50，60）3[60，70）14[70，80）15[80，90）12[90，100]4（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，成绩在[85，100）的学生数为+4=10， 则成绩在85分以上的学生的比例为P1==20%， （Ⅲ）记成绩在[40，50）上的2名学生为a、甲，在[90，100）内的4名学生记为1、2、3、乙， 则选取的情况有（1，2，a）、（1，2，甲）、（1，3，a）、（1，3，甲）、（1，乙，a）、（1，乙，甲）、 （2，3，a）、（2，3，甲）、（2，乙，a）、（2，乙，甲）、（3，乙，a）、（3，乙，甲），共12种； 其中甲乙两名同学恰好在同一小组的情况有3种， 则甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率P2==． 【点评】本题考查古典概型的计算与频率分布表的作法，关键是运用表中的数据，正确做出频率分布表． 21.在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离(－1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？参考答案：由已知条件得，AB＝2，AC＝－1，∠BAC＝120°，∴BC＝.