2020-2021学年河北省衡水中学高一(上)期末数学试卷

𝜋𝜋𝜋𝜋20202021年河北省衡水中高一（上）期数学试卷一、选择题（本大题共8小题，40.0分(6

2

B.

32

C.

2

D.

2

设集合，，𝐵(

R−2)C.三个数𝜋,𝜋

𝜋

B.D.的大小关系是

𝜋

3𝜋

B.3𝜋𝜋

𝜋C.

𝜋

𝜋𝜋

D.3𝜋

𝜋

𝜋

已知向，

2

，若，则)

4

B.

C.

或

D.

或

函数

𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠

在区间𝜋,2的象致B.

C.D.函数2的点所在区间

B.

C.

D.

(1,2)

纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作金矿的话么以把黄金分割比作钻石矿黄金三角形有两，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角的等腰三角形另种是顶角为的等腰三角例如角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成图所示，在其中一个黄eq\o\ac(△,)中根这些信息，可得𝑠𝑖𝑛234°=(2第1页，共页

𝜋𝜋3,]7𝜋𝜋𝜋7𝜋𝜋若，则𝜋𝜋3,]7𝜋𝜋𝜋7𝜋𝜋若，则

B.

3

C.

D.

4

4已知函sin(4

848函有个零点324

3的取值范围

𝜋7𝜋3

B.

,8

C.

8

D.

,8二、不定项选择题（本大题共4小，共20.0分下说法正确的

终边在y轴的角的集合

𝜋

𝜋,𝑘B.

已知

4𝑏，𝑏

C.

已知x，，

，最小值为8D.

已知幂函数(的图象过，已角的边经过则

B.

C.

D.

在中|，=，

⋅

B.C.

D.

34已函是义[上偶函数当时

3

，则

B.

C.

m的值可能是D.的可能是三、填空题（本大题共4小题，20.0分在形ABCD中O是对角线的交点，𝜋3𝜋36

，

，则

.用表示第2页，共页

𝑎𝜋𝜋𝜋𝜋𝑥𝑎𝜋𝜋𝜋𝜋𝑥若lg，lg方

的个根，𝑏

．已,，则𝑎______．四、解答题（本大题共6小题，70.0分已，，且求𝑎的；求．

，已函𝐴的分图象如图示．求的解析式，并写出函的单调递增区间；将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变将所得的函数图象上所有点向左平移

𝜋

个位长度，得到函的象若数(的象关于直线

𝜋

对称，求函数在,上的值域．已函

𝑥

是奇函数，

是函．求的；设

，若𝑎对任意+恒立，求实数a的取值范围．第3页，共页

𝜋𝜋函数𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋函数𝜋𝜋𝜋在函图象向右平移个位长度得到(的象图象关于原点对称；向√𝑖

，，，；(6这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知______，函数(的象相邻两条对称轴之间的距离为．求(；求上单调递减区间．某业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环由形挖扇形后成已知米，段BA、线段CD与长度之和为30米圆心角为弧．求关x的函数析式；记牌的截面面积为y，试问x何值时的最大？并求出最大值．第4页，共页

已函⋅

，图象上相邻两个最低点的距离．若有一个零点为，求m的；若,𝑐]

，使得(成，求m取值范围．第5页，共页

．𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑖𝑛𝑥+𝑐．𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝑖𝑛𝑥+𝑐)3𝜋5𝜋1.【答案【解析】解

答案和解析𝜋故选：A．直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．2.

【答案【解析】解或，，𝐵[．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即．本题考查了描述法和区间的定义元二次不等式的解法交及其运算考查了计算能力属于基础题．3.【答案【解析】解3𝜋3，

𝜋

，𝜋

𝜋

，3𝜋

．故选：A．利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数、正弦函数的单调性等基础知识，考运算求解能力，是基础题．4.

【答案【解析】解：向，

，3,2−𝑥

，，得，解得或，故选：B．利用向量的坐标运算以及向量的垂直条件，转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量垂直条件的应用，是基础题．5.

【答案C【解析】解4，𝜋,𝜋]令(，得或，由图观察可知，只有选项C符合题意，故选：．求出函数的点，由此即可得解．第6页，共页

1，1，本题考查由函数解析式确定函数图象，同时也涉及了辅助角公式的运用及三角函数的性质，属基础题．6.【答案【解析】解函

是R上的连续函数，且单调递增，(，，．

的点所在的一个区间，故选：A．将选项中各区间两端点值代，足的间为零点所在的一个区间．本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．7.【答案C【解析】解：由图可知，，且2𝑠144°．4．则𝑛234°𝑠144°4

4

．故选：．由已知求得，得的，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解．本题考查三角函数的恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力，是中档题．8.

【答案D【解析】解：根据题意画出函的象，如图所示：，函数有个零点，等价于函与函数有个交点，当直线l位于直线与线之时，符合题意，由图象可知

𝜋𝜋𝜋𝜋242424

，第7页，共页

所以1223𝑏3所以1223𝑏37𝜋𝜋23

，故选：D．根据题意画出函的象，函数有个零点，等价于函函有三个交点，利用数形结合法即可求

的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及三角函数的图象和性质，是中档题．9.【答案BD【解析】解：终边在轴的角的集合{

𝜋2

𝜋,𝑘

，故选项不确；因为确；

𝑏，以，，3𝑙，选项3因为

√

，以的小值为9，故选项C不确；因为幂函数(的图象过点，以，故选：．

，，所，故选项D正．根据终边在y上的角的集合

𝜋2

𝜋,𝑘

可判定选项A据指数式与对数式互化求出a，从而可判定选项B，利用1的代换和基本不等式可判定选项C，利用幂函数的定义可判定选．本题主要考查了命题的真假判断与应用，以及基本不等式的应用和幂函数的定义，同时考查了生分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．10.

【答案【解析】解角的终边经过𝑛120°,，120°120°√3，2

𝑛120°√152

2

，

𝑖√152

，

𝑖𝛼cos

，．故选：ACD．由题意利用任意角的三角函数的定义，求的角函数的值，可得结论．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11.

【答案【解析】解：如图示：，由|=1显然P点是BC中点，第8页，共页

对于A：22222对于A：2222232222323223⋅

，故错误；对于B：是BC的点，得𝑃故

，故确；对于：

22

，故正确；对于D：

⋅(，D正确；224故选：BCD．根据平面向量的数量积运算结合图象分别计算，从而判断正误．本题考查了数量积的运算性质，考查数形结合思想，是一道基础题．12.

【答案AD【解析】解：由题意可得2，，A确B错；因为是偶函数，所𝑓(2)．当时，

3

单调递增．因为是偶函数，所以当时，单递减．因为

2

，所以𝑓(2)2−33所以，得2

或，C错，正确．4故选：．由偶函数的定义域关于原点对称，可求得，根据函数解析式可求得函数单调性，由函数的单调性和奇−33偶性将不等式转化为，再求出m的值范围，从而确定m的值．22本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．13.

【答案】

2【解析】解：画出图形，如图所示；矩形ABCD，O是角线的交点，所以

222

2

．2故答案为：2在矩形ABCD中2

，由向量加法公式可得答案．本题主要考查相等的向量，以及向量加法的平行四边形法则的应用，属于基础题．14.

【答案】第9页，共页

，则，3𝜋2𝜋，；13，，则，3𝜋2𝜋，；13，【解析】解

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋33623故答案为：．由题意利用诱导公式，求得所给式子的值．本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．15.【答案】2【解析】解，lg方程2

2

的个根，⋅𝑙

，222𝑙𝑎𝑏2，2故答案为．由一元二次方程根与系数的关系可，，由2

2

𝑙𝑎

2

2

𝑙𝑎运算求得结果．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对数的运算性质，属于中档题．16.【答案【解析22，舍，解得3𝜋,，由于2

2

𝑖可3

2

，可得，2所以

，3𝛼

．故答案为：

2

．利用二倍角公式化简已知等式可3𝑛

2

，得的，利用同角三角函数基本关系式即可求解，而可求的值，本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了算能力和转化思想，属于基础题．17.

【答案】解由

，，得27

37𝛼

𝑖𝛼

，𝑎𝑛2𝛼

2𝑡

3

347由

7

，，

𝜋2

，33得可得，𝛼𝑖

13337

2第10页，共15页

，𝜋𝜋，，7𝜋7𝜋𝜋𝜋，，𝜋𝜋，，7𝜋7𝜋𝜋𝜋，，解得：𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋，时，最小，且为：，当𝜋𝜋

𝜋3

．【解析】由知求，一步得再由二倍角的正切求解；由知求利用𝛼，开两角差的余弦得答案．本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．【案象知

3

𝜋𝜋𝜋，43

𝜋𝜋，，，得

3

，所以函数𝑖

𝜋)；3单调递增区间满

𝜋𝜋𝜋3

，解得：𝜋4𝜋𝜋𝜋33所以单调递增区间为[

𝜋,𝜋4，；33由可：将函图上所有点的横坐标缩短到原来的纵标不变，得，左4平移由题意可得

个位长度可得𝑖𝑥，3𝜋𝜋𝜋36

，所以，3,，[𝜋]，令[,𝜋]，36636𝑡，

𝜋66

𝜋]，图所示；当

𝜋𝜋6

时最且，所以([，所以

,的域为：．第11页，共15页

𝑛4𝑥332𝜋𝜋𝑛4𝑥332𝜋𝜋【解析】由数图象过的两点及最大值求出函的析式，进而出函数的单调递增区间；由意求出函的析式换元，画出函数图象，有图象求出函在给区间的值域．考查由函数图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．19.

【答案】解由为函数，且定义域为，，，之得𝑛，分由于，(4𝑥(44(4偶函数，4

，，到

，由此可得：𝑛的为；分(4𝑥，4，分44又

4

𝑥

在区间上增函数，当时，分𝑖𝑛4由题意得到{得a的值范围是：

，解之得,．

3，【解析据定义在R奇函数满𝑛整理得到由此可得的；

，由得4

𝑎在间上是增函数，44得(

𝑖𝑛

3

，可建立关于a的等式组，解之即可得到实数取值范围．本题给出含有指数和对数的函数论函数的奇偶性调性并解决关于x的等式恒成立的问题重考查了基本初等函数的图象与性质和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．20.

【答案】解：方案一：选条由题意可知

𝜋𝜔

𝜋，𝜔，，𝑥

，又函数象关于原点对称，𝜋,

，

𝜋

，第12页，共15页

𝜋𝜋由𝜋≤2𝜋2𝜋,，得𝜋≤𝜋𝜋,，令，𝜋𝜋，𝜋𝜋由𝜋≤2𝜋2𝜋,，得𝜋≤𝜋𝜋,，令，𝜋𝜋，𝜋令，𝜋27𝜋𝜋由𝜋≤2𝜋2𝜋,，得𝜋≤𝜋𝜋,，令，𝜋令，，,,𝜋

𝜋6

，sin(2，26𝜋424

；𝜋𝜋𝜋22626𝜋2766

，所以函数在0,2上的单调递减区间

,𝜋],𝜋,．6方案二：选条件

𝑛

，242𝜋，又2

2

+𝑜𝑠2𝜔sin(2，4222，sin(2，26𝜋424

；𝜋𝜋𝜋22626

，𝜋27𝜋𝜋66

，所以函数在0,2上的单调递减区间

𝜋𝜋7𝜋𝜋6方案三：选条件

𝜋6

4𝑠

𝜋𝜋𝑠𝑠6

𝑥2443𝑖𝑛222sin(2，26又

2𝜋2

，所以第13页，共15页

𝜋；𝜋3由𝜋≤2𝜋2𝜋,，得𝜋≤𝜋；𝜋3由𝜋≤2𝜋2𝜋,，得𝜋≤7𝜋𝜋,，,𝜋sin(2，利用正弦函数|𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋225，2225所以

sin(2，26𝜋3𝜋𝜋3𝜋𝜋26263

𝜋，得

𝜋𝜋63

，令，得

63

．所以函数在0.2上的单调递减区间

𝜋𝜋7𝜋𝜋663

【解析条件用周期公式公式可用角函数的平移变换可

sin(2，26的性质，结合范围，求，可得函数解析式(2626利特殊角的三角函数值即可求解；利正弦函数的单调性即可求解．选条件，利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可函数解析式，利用正弦函数的周期公式可求，求数解析式为

sin(2，26利特殊角的三角函数值即可求(用正弦函数的