山东省青岛市胶州第二十三中学2021年高三数学文期末试卷含解析

山东省青岛市胶州第二十三中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）A．1

B．－1

C.3

D．7参考答案：A2.已知函数f（x）＝sinωx在［0，］恰有4个零点，则正整数ω的值为A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6参考答案：C略3.若，则，，的大小关系为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A4.若，则的单调递增区间为（

）A.(2,+∞) B.(－1,0)∪(2,+∞) C.(1,+∞) D.(0,2)参考答案：A【分析】首先确定函数的定义域；利用导数可知当时，范围即为所求区间，从而得到结果.【详解】由题意得：定义域为：当时，；当时，的单调递增区间为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，易错点是忽略函数的定义域，从而造成求解错误.5.已知复数z=，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+2i D．2﹣2i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z==1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．6.将函数的图象向左平移m个单位是所得函数的图象的一个对称中心，则m的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：B7.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=2，则输入的a，b可能是（

）A．15,18

B．14,18

C．12,18

D．9,18参考答案：B8.设复数，，若，则(

)A． B． C．

D．参考答案：B【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算解析：因为,所以，故选B.【思路点拨】先利用两个复数代数形式的乘法法则求出，由于它为实数，可得，由此求得x的值．

9.设为虚数单位，则复数等于（

）A．

B．1－

C．－1＋

D．－1－参考答案：C略10.设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=(

)A．[0，2] B．（0，3） C．[0，3） D．（1，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，计算A∩B即可．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）；B={y|y=2x，x∈[0，2]}={y|0≤y≤4}=[0，4]；∴A∩B=[0，3）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为

.参考答案：-12略12.在平面直角坐标系中，给定两点和，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为▲。参考答案：1略13.已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为___________参考答案：61略14.若函数，其中表示两者中的较小者，则的解为

。参考答案：15.给出下列命题中

①向量的夹角为； ②为锐角的充要条件； ③将函数的图象按向量平移，得到的图象对应的函数表达式为； ④若为等腰三角形； 以上命题正确的是

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：3;

4略16.已知方程在上有解，则实数的取值范围为_____________．参考答案：略17.图1是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

参考答案：64略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值时的集合.参考答案：解：，（1）函数的最小正周期为.（2）当，即时，取得最大值1，∴的最大值为1，此时的集合是.19.设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；（Ⅱ）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.(i)证明:为定值；(ii)连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.参考答案：（Ⅰ）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为（Ⅱ）（i）为定值

（ii）

（Ⅰ）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以………1分

又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以故椭圆的方程为，

……………3分

“相关圆”的方程为

……………4分（Ⅱ）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则所以

……………5分当直线的斜率存在时，设其方程设为，设联立方程组得,即,…………6分

△=,即

……………7分因为直线与相关圆相切，所以

……………8分

为定值

……………9分（ii）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围当直线AB的斜率不存在时，由（i）知

……………10分 因为

……………11分,

1

时为所以,所以,所以当且仅当时取”=”

……………12分②当时,．|AB|的取值范围为

……………13分面积的取值范围是

……………14分20.（本小题满分12分）某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①；②;③，其中p，q均为常数且q>l．(注：x表示上市时间，表示价格，记x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推，x∈[0，5].）（I）在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；(Ⅱ)对于(I)中所选的函数，若，记’经过多年的统计发现：当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请你预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？参考答案：21.已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，对a分类求解原函数的单调区间；（2）利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明成立，即证．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由导数求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），当a=﹣1时，f′（x）=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当时，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当时，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，当x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞﹣1时，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，，当x∈（0，x2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．（2）证明：要证f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即证lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是证，即证．令g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，考查逻辑推理能力和运算能力，属难题．22.（13分）已知函数,，其中R．（1）当a=1时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围