2020-2021学年山西省太原市高一上学期期中数学试卷

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛2020-2021年山西省太原市高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题共36.0分）

已知全1，23，集合，2，，等于

B.

，

C.

，3，

D.

是R上偶函数，时，则)

B.

C.

D.

若C.

那么下列各式中正确的)B.D.

若奇函，满足，，则于

B.

C.

D.

已知，则它们从小到大为B.D.任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函

，若将(表示成一个偶函数(和个奇函的则实数取值范围

对恒立，[,

B.

C.

,

D.

,

已知数的通项为𝑛𝑛

𝑛𝑡

，其中

为正常数记为数列

的前n和，则下列说法不正确的是

常数m使对于𝑛均有

是的充要条件B.

𝑡

𝑛𝑛

的充分不必要条件C.

对于𝑛，满足

是𝑡的必要充分条件𝑡D.

对于𝑛

，均满足

𝑡

𝑡

是𝑡的充分不必要条件

已知函𝑐𝑥𝑠𝑖𝑛其若数的大值记为(则的小值为

,11,11

14

B.

C.

3

D.

1

已知集20162017},{2017，则𝑄

(2016,2017)

B.

(2016,2017]

C.

[2016,2017)

D.

一汽车在高速路上行驶于到紧急情况而刹车速度11

24𝑡

的单位：s，v的位行至停止．在此期间汽车继续行驶的距单：是

+

B.

C.

D.

48𝑙𝑛6已定义在R上的偶函数(在上递减，若不等𝑓(1)对恒立，则实数a的取值范围

[2,4]

B.

C.

[3,4]

D.

已函，+的值1,𝑥

B.

C.

D.

二、单空题（本大题共3小题，12.0分设函的象经过，512

的为______．已知，，

𝑥+4

的最大______．已方程：2(4，．该程表示圆，且圆心在直上始可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；当时该方程表示的曲线关于直线l：1的称曲线为，则曲线上的点到直线l

的最大距离为；若，点作方程表示的面积小的曲线的两条切线，切点分别为AB，则AB所在的直线方程为4𝑥．以上四个命题中，是正确的有.填三、多空题（本大题共1小题，4.0分）p：，1，p的否命题是，是或假命．四、解答题（本大题共7小题，72.0分求下列各式的：

填命题

1232123248

；4𝑙𝑔34．已集

，合

，求；求𝐴．已函，𝑅，为数是然对数的底数．Ⅰ当时证恒立；Ⅱ若，对于任意𝑅，恒成立，试确定实数k的值范围．海市有甲、乙两家台球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．家每张球台每小时乙家按月计费一个月30小时以内含30小每球台90元超过30小的部分每张球台每小时2元小王准备下个月从这两家的一家租一张球台使用，其活动时间不少于时，也不超过小时．设甲家租一张球台开展活动小的收费为

元在乙家租一张球台开展活动小的收费为

元试求

和

的解析式；从费较少的角度，你认为选择哪一家比较合算？为什？某校在平面图为矩形的操场内行体操表演，其，，O为上点段ODMN为演队列所在位N分在线段OC上eq\o\ac(△,)内的点领队位置到OCOD的离分别记我知道eq\o\ac(△,)𝑂面积最小时观赏效果最好．当d为何值时队列MN的点；怎安排M的位置才能使观赏效果最好？求出此eq\o\ac(△,)𝑂的积．

若数在R单调递减，且(设数求的值；

，是定义域为

的取值范围．的奇函数．若

，且

在

上的最小值为

，求

的值．若

，试讨论函数

在

上零点的个数情况。

【答案与析】1.

答：A解：本题主要考查集合的基本运算，根据集合的交集和补集的定义是解决本题的关键．根据集合的交集和补集的定义进行计算即可．解：

𝑈

，，𝐵，𝑈故选．2.

答：解：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和已知解析式，属于基础题．运用偶函数的定义和已知解析式，代入计算即可得到．解：是R上的偶函数，则，则，当时，，则，即．故选C．3.

答：解：题分析：根据题意，由于，于，对数底数小于，函数递减，则显然错误，对于，由于指数函数的性质可知，底数大于1，函数递增，则可知不成立。对于，合指数函数图象可知，底数大于，那么可知

，故排除选C考点：不等式的比较大小点评：主要是考查了对数和指数函数单调性以及幂函数性质的运用，属于基础题。4.

答：D解：：因，以(，令，以，，

因为函是函数，所以，即，．故选：D根据条件式子，让取，用函数是奇函数，可得的值．本题主要考查函数奇偶性的应用，构造与的系式是解决本题的关键．5.

答：A解：题分析：由对数函数性质得

，由指数函数性质得

所以

，故选A。考点：本题主要考查指数、对数的性质。点评：简单题，涉及函数值比较大小问题，往往利用单调性及“媒介法”，即引入1，，”作为“媒介”。6.

答：解：：，则，解得

，

，因为

对成立，则

)2对恒成立，所以

𝑒

对恒立，故

对恒立，可得

𝑥

−𝑥

对成立，又

√

⋅𝑒

，当且仅时等号，所以

．故选：．先利用奇函数与偶函数的定义，求与，不等式进行化简变形，然后由参变量分离，将问题转化为

𝑥

−𝑥

𝑥，基本不等式求解最值，即可得到答案．本题考查了函数奇偶性定义的运用，不等式恒成立问题的求解，基本不等式求解最值的应用，掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．

𝑛𝑛，22𝑛𝑛𝑛，则𝑥)𝑛𝑛𝑛1𝑛𝑛𝑛，且在单调递减，当时3𝑛𝑛，22𝑛𝑛𝑛，则𝑥)𝑛𝑛𝑛1𝑛𝑛𝑛，且在单调递减，当时37.答案D解：：对于，当时，𝑛𝑛

，则若时不存，使得对∀𝑛均

，则该命题必要性成立，下证当时不收敛，

𝑙𝑜𝑔𝑛23𝑛244888162

𝑙𝑜𝑔𝑛2

不收敛当时，不收敛，令

𝑛

𝑥

𝑡1

，下证：当时对𝑛，均

，令

𝑥)

𝑛𝑡1𝑡

，，𝑥)，且在

上单调递减，𝑛

𝑡𝑡𝑛1)𝑡𝑡

𝑛

，当𝑛=时，𝑛

𝑛

，中充分必成立，故确；对于，要性同中必要性．令𝑥)𝑥，

𝑔(𝑛，𝑔𝑥)

𝑛𝑛

，𝑛

𝑛

𝑛1

𝑛𝑛1)

𝑡

𝑡

𝑛

，由于是充要条件为分不必要条件，故B正；对于C，时2

𝑛√𝑛

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑛𝑛𝑛

√𝑛𝑛

𝑛

32

32𝑛

32𝑛𝑛

𝑛

，

𝑛√√√√𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑛√√√√𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛

𝑡

𝑡

𝑡

𝑛𝑡

𝑛𝑡

𝑡

，由于经过放缩，对于𝑛，满对于，𝑡时

是的必要不充分条件，故C正确．𝑡𝑡

√

⋅√𝑛𝑛𝑡1

√

√

𝑡1

√+

√

𝑛

√𝑛√𝑛𝑡1

√

√+

√𝑛𝑛𝑡1⋅

𝑛

𝑛√

𝑡

𝑛√

𝑛

𝑡

𝑛𝑡

，𝑡𝑡𝑛1𝑡𝑛+𝑡

𝑡1

𝑡

𝑡

．由于经过缩放，对于𝑛，满

是的必要不充分条件，故D错误．𝑡故选：D利用不等式的性质、放缩法，结合充分条件、必要条件的定义，能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查充分条件、必要条件的概念，不等式的性质、放缩法等基础知，考查运算求解能力，是难题．8.答案D解：：函

𝑖𝑛，化简可得：

𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑠𝑛𝑥𝑛

𝑛，

−2−223由−2−223由2√32324224335令

2

𝑠2，口向上，对称轴，2．2故当𝑥时，取最大值2

−2−222

4

．334

3

，当且仅当4

，即

3

时取等号故得的小值为：3

．故选：D利用二倍角公式化简(，化为二次函数问题求解函的大，可得的达式，利用基本不等式即可求出(的最小值．本题考查了二次函数的最值问题和三角函数化简转化思想．基本不等式的运用，属于中档题．9.

答：B解：：2017，即2017−𝑥，得，，，则故选：B求出中等式的解集确定出Q找出P与Q的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10.

答：解：：可

，(舍或，3此间汽车继续驶的距离(𝑡2

24．2故选：．求出刹车时间，再利用定积分的几何意义得出刹车距离．本题考查了定积分的意义与定积分计算，属于中档题．11.

答：D解：：由题意可得定义在R上偶函数(在上减在上增，且偶函的象关于轴称．

3，由31(113，由31(11不式(

3

3

对恒立

3

3

，

3

对恒成立，对𝑥恒立，即时，

和

同时恒成立．令

2

2

，得，在上在上，故的小为，3．再根据时，恒立，．结合可得，3．故选：D由题意可得

3

对恒成立，即时，

和同恒成立．利用导数求

的最小值，再求的大值，可得范围．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，导数与函数的单调性间的关系，函数的恒成问题，属于中档题．12.

答：A解：：根据题意，函

,，则，则，故选：A．根据题意，由函数的解析式求、的，加即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及函数的表示方法，属于基础题．13.答：8解：：设幂函

𝛼

，为数，幂数的象经过，

𝛼

，即𝛼，3

3

，

3(3．

𝛼12222|111|2212122𝛼12222|111|2212122故答案为：8．设出幂函数(𝛼为常数，把点的．而可求(512

12

代，求出待定系数的值，得到幂函数的解析式，进本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法．属于基础题．14.

答：0解：：由

2

4

𝑥6)

2

16(

6)

64

，，

646

2√(6

64

，当且仅当2时，取等号；由

4

𝑥6)

2

16(

64

16．即

2

4

的最大值为．故答案为：0．利用分离常数法，结合基本不等式即可求解最大值．本题主要考查函数最值的求解握分离常数法造合基本不等式的性质是解决本题的关键于基础题．15.

答：解：：由方程

2

2

2)2，配方可得：

2

52

当

1，即

5510

或

5510

才表示圆，错；由知，

5510

或

5510

才表示圆，且圆在线21上动，而圆的半径是是不定的，错；当1时，方程表示圆

1)2

1，条件知曲线上点到直线l

的最大距离即为圆M上点到直线l

的最大距离，即为

，故正确；2当时

2

5

1

2

2

14

，则当时，面积最小，此时圆心为，M的方程

2，设(1,0)，PM的中点1,

，，2则以PM为径的圆的方程为

124

，

1212两圆相减即得AB所在直线方程为，故正确．故答案为：．利用配方法把已知方程变形，确定圆心与半径判；代圆的方程，把问题转化为圆上的点到直线l

的最大距离求解，即可判；求出以和心的连线为直径的圆方程，将两圆方程作差可得两切点所直方程判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．16.

答：命题假命题解：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定等知识点，难度基础．先判断原命题的真假，可得其逆否命题和否定的真假．解：命p：则或，真命题，的否命题是：且，则，真命题；是若，𝑥且，假命题．故答案为：真命题，假命题17.

答：：

23；8原．解：根指数幂的运性质计算即可．根对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题．18.

答：：𝐴{𝐵或}，或；∁，𝐴{．解：可求出集合A，，然后进行交集的运算即可；进补集、并集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．19.

答：：由

，以

．

由得，的调递增区间由得，的调递减区间．所以函数有最小，以成立．Ⅱ由可知是函数．于是对任意成等价于(对意立．由

得．当时，

．此时在上单调递增．故，符合题意．当+时．当x变时，的化情况如下表：x

ln

单调递减

极小值

单调递增由此可得，上，．依题意𝑙，又，．综合，得实数k取值范围．解：由意可知要确定函数的单调区间，先求出函数的导函数，令其大于零求出函数的增区间；令其小于零求出函数的减区间，从而得出函数有最小值即可证得结论；判得是函数，关于对称成等价对意成，

得𝑘，讨论k的调区间保证对意成，最后确定出的围即可．考查学生利用导数研究函数单调性的能力．利用导数研究函数极值的能力，函数恒成立的条件20.答：：，

，由得

或

，即或舍，当时，即甲家时即选甲家也可以选乙家时，即乙家．当，，∴即乙家．

7{MN的中点，所{为，得，，所7{MN的中点，所{为，得，，所𝑛综上所述：，选甲家；当时，选甲家也可以选乙家；当，选乙家．解：因甲家每张球台每小时5元，故收费与x成比例即得，利用分段函数的表达式的求法即可求的达式．欲知道小张选择哪家比较合算，关键是看那一家收费，故只要比与(的数的大即可．最后选择费用低的一家即可．21.

答：：以为标点所直线为轴O垂于的线为y轴立图所示的平面直角坐标系．，，，∴：；：，设𝑛，P到OCOD的离分别，立解方程组．．

5，，得7

,，|．由，，三点共线，得

，𝑛，即

，eq\o\ac(△,𝑂)eq\o\a