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山东省青岛市第六十一中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于A.10cm3

B.20cm3

C.30cm3

D.40cm3参考答案:B2.设点是线段的中点,点在直线外,,,则=(

)A.8 B.4 C.2 D.1参考答案:C略3.在中,已知,,,则=

A.1

B.2

C.-1

D.参考答案:B4.设直线与圆相切,则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案:C5.设集合,则下列关系式正确的是

).

.

.

.参考答案:C6.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:D如图所示,设,所以,所以点取自阴影部分的概率为,故选D.

7.设,,若,则实数的取值范围是

() A.

B.

C.

D.参考答案:C8.直线xsin30°+ycos150°+1=0的斜率是()A. B. C.﹣ D.﹣参考答案:A【考点】I3:直线的斜率.【分析】直线xsin30°+ycos150°+1=0的斜率k=,即可得出.【解答】解:直线xsin30°+ycos150°+1=0的斜率k==﹣=.故选:A.9.已知,则

)A.0 B. C. D.2参考答案:B10.为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况,已知老、中、青人数之比为3:7:5,现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本,其中老年教师有18人,则样本容量n=(

)A.54 B.90 C.45 D.126参考答案:B【分析】根据分层抽样的概念即可求解。【详解】依题意得,解得,即样本容量为90.故选B【点睛】本题考查分层抽样的应用,属基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x项的系数是_______.参考答案:9【分析】令,可得:,解出的值,再利用通项公式即可得到答案。【详解】由于的展开式中各项系数和为2,令,可得:,解得:,的展开式的通项公式,要得到展开式中含项的系数,则或,解得或4;所以展开式中含项的系数故答案为:912.命题“"x∈R,x2-x+3>0”的否定是

参考答案:$x∈R,x2-x+3≤0;略13.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查,为此将他们随机编号为,,…,,则抽取的人中,编号在区间内的人数是

.参考答案:6

14.已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α,则sinα=______.参考答案:试题分析:如图,由题意平面与条侧棱所成的角都相等,且都等于.因平面,且,故,所以,故应填.考点:线面角的定义及求解.15.已知点A(﹣3,4)B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围.参考答案:45°≤α≤135°【考点】直线的斜率.【分析】由题意画出图形,求出P与线段AB端点连线的倾斜角得答案.【解答】解:如图,当直线l过B时设直线l的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα==1,α=45°当直线l过A时设直线l的倾斜角为β(0≤β<π),则tanβ==﹣1,β=135°,∴要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.故答案为45°≤α≤135°.16.直线在上的截距相等,则=______;

参考答案:1略17.已知曲线y=2x2及点P(1,2),则在点P处的曲线y=2x2的切线方程为

.参考答案:y=4x﹣2考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:欲求在点(﹣1,3)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.解答: 解:∵y=2x2,∴y′=4x,∴x=1时,y′=4,∴曲线y=2x2在点P(1,2)处的切线方程为:y﹣2=4×(x﹣1),即y=4x﹣2,故答案为:y=4x﹣2.点评:本题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上,在轮船A出发时,轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处,并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶,假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶,经过t小时与轮船B相遇.(1)若使相遇时轮船A航距最短,则轮船A的航行速度大小应为多少?(2)假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时,则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇,并说明理由.参考答案:【考点】HU:解三角形的实际应用.【分析】(1)设两轮船在Q处相遇,在△POQ中,利用余弦定理得出OQ关于t的函数,从而得出OQ的最小值及其对应的t,得出速度;(2)利用余弦定理计算航行时间t,得出PQ,OQ距离,从而得出∠POQ的度数,得出航行方案.【解答】解:(1)设AB两船在Q处相遇,在△OPQ中,OP=20,PQ=30t,OQ=Vt,∠OPQ=60°,由余弦定理可得Vt==,∴当t=时,Vt取得最小值10,此时V==30.即轮船A以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)在△POQ中,OQ=30t,由余弦定理得:OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ,即(30t)2=400+900t2﹣1200tcos60°∴600t=400解得:t=,∴PQ=OQ=20,∴△OPQ为等边三角形,∴∠POQ=30°.故航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.19.(本小题满分12分)

已知函数,当时,有极大值;(1)求的值;(2)求函数的极小值.参考答案:(1)

(2)时略20.(满分10分)已知:复数,

,且+,求复数z参考答案:解:由已知得:

=5-i,=-3-i

…………3分∴+=(5-i)+(-3-i)=2-2i

…5分∴z==()=

……10分略21.(本小题满分12分)已知实数满足,求证:参考答案:证法一:消b,化为a的二次函数,由,得代入左边得:

……2分左边

……5分

……8分

……12分其它证法酌情给分,证法参考两例:证法二:(放缩法)∵,∴左边==右边证法三:(均值换元法)∵,所以可设,,∴左边==右边,当且仅当t=0时,等号成立.略22.已知函数f(x)=(1)求函数y=f(x)在点(1,0)处的切线方程;(2)设实数k使得f(x)<kx恒成立,求k的取值范围;(3)设g(x)=f(x)﹣kx(k∈R),求函数g(x)在区间[,e2]上的有两个零点,求k的取值范围.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求导数,可得切线的斜率,即可求函数y=f(x)在点(1,0)处的切线方程;(2)设实数k使得f(x)<kx恒成立,分离参数,求最值,即可求k的取值范围;(3)由(2)知,h(x))=在[,]上是增函数,在[,e2]上是减函数,利用函数g(x)在[,e2]上有2个零点,可得k的取值范围.【解答】解:(1)∵f(x)=,∴f′(x)=…2分∴f′(1)=1,…∴曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x﹣1;…(2)设h(x)==(x>0),则h′(x)=(x>0)令h′(x)=0,解得:x=;…当x在(0,+∞)上变化时,h′(x),h(x)的变化

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