山东省青岛市第六十一中学2022年高二数学理模拟试题含解析

山东省青岛市第六十一中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于A．10cm3

B．20cm3

C．30cm3

D．40cm3参考答案：B2.设点是线段的中点，点在直线外，，,则=(

)A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：C略3.在中，已知,,，则=

（

）

A．1

B．2

C．－1

D．参考答案：B4.设直线与圆相切，则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C5.设集合，则下列关系式正确的是

（

）.

.

.

.参考答案：C6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D如图所示，设，所以，所以点取自阴影部分的概率为，故选D．

7.设，，若，则实数的取值范围是

（） A．

B．

C．

D．参考答案：C8.直线xsin30°+ycos150°+1=0的斜率是（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】I3：直线的斜率．【分析】直线xsin30°+ycos150°+1=0的斜率k=，即可得出．【解答】解：直线xsin30°+ycos150°+1=0的斜率k==﹣=．故选：A．9.已知，则

（

）A．0 B． C． D．2参考答案：B10.为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为3:7:5，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中老年教师有18人，则样本容量n=（

）A.54 B.90 C.45 D.126参考答案：B【分析】根据分层抽样的概念即可求解。【详解】依题意得，解得，即样本容量为90.故选B【点睛】本题考查分层抽样的应用，属基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x项的系数是_______．参考答案：9【分析】令，可得：，解出的值，再利用通项公式即可得到答案。【详解】由于的展开式中各项系数和为2，令，可得：，解得：，的展开式的通项公式，要得到展开式中含项的系数，则或，解得或4；所以展开式中含项的系数故答案为：912.命题“"x∈R，x2-x+3>0”的否定是

参考答案：$x∈R，x2-x+3≤0；略13.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，…，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是

．参考答案：6

14.已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α，则sinα=______．参考答案：试题分析:如图,由题意平面与条侧棱所成的角都相等,且都等于.因平面,且,故,所以,故应填.考点：线面角的定义及求解．15.已知点A（﹣3，4）B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围．参考答案：45°≤α≤135°【考点】直线的斜率．【分析】由题意画出图形，求出P与线段AB端点连线的倾斜角得答案．【解答】解：如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），则tanα==1，α=45°当直线l过A时设直线l的倾斜角为β（0≤β＜π），则tanβ==﹣1，β=135°，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°．故答案为45°≤α≤135°．16.直线在上的截距相等，则=______;

参考答案：1略17.已知曲线y=2x2及点P（1，2），则在点P处的曲线y=2x2的切线方程为

．参考答案：y=4x﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：欲求在点（﹣1，3）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答： 解：∵y=2x2，∴y′=4x，∴x=1时，y′=4，∴曲线y=2x2在点P（1，2）处的切线方程为：y﹣2=4×（x﹣1），即y=4x﹣2，故答案为：y=4x﹣2．点评：本题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇．（1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？（2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由．参考答案：【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设两轮船在Q处相遇，在△POQ中，利用余弦定理得出OQ关于t的函数，从而得出OQ的最小值及其对应的t，得出速度；（2）利用余弦定理计算航行时间t，得出PQ，OQ距离，从而得出∠POQ的度数，得出航行方案．【解答】解：（1）设AB两船在Q处相遇，在△OPQ中，OP=20，PQ=30t，OQ=Vt，∠OPQ=60°，由余弦定理可得Vt==，∴当t=时，Vt取得最小值10，此时V==30．即轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．（2）在△POQ中，OQ=30t，由余弦定理得：OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ，即（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°∴600t=400解得：t=，∴PQ=OQ=20，∴△OPQ为等边三角形，∴∠POQ=30°．故航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．19.（本小题满分12分）

已知函数，当时，有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小值.参考答案：（1）

（2）时略20.（满分10分）已知：复数，

，且+，求复数z参考答案：解：由已知得：

=5-i，=-3-i

…………3分∴+=（5-i）+（-3-i）=2-2i

…5分∴z==（）=

……10分略21.（本小题满分12分）已知实数满足,求证：参考答案：证法一：消b,化为a的二次函数,由，得代入左边得：

……2分左边

……5分

……8分

……12分其它证法酌情给分，证法参考两例：证法二：（放缩法）∵,∴左边＝＝右边证法三：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边，当且仅当t=0时，等号成立.略22.已知函数f（x）=（1）求函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）设实数k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣kx（k∈R），求函数g（x）在区间[，e2]上的有两个零点，求k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，可得切线的斜率，即可求函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）设实数k使得f（x）＜kx恒成立，分离参数，求最值，即可求k的取值范围；（3）由（2）知，h（x））=在[，]上是增函数，在[，e2]上是减函数，利用函数g（x）在[，e2]上有2个零点，可得k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=…2分∴f′（1）=1，…∴曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1；…（2）设h（x）==（x＞0），则h′（x）=（x＞0）令h′（x）=0，解得：x=；…当x在（0，+∞）上变化时，h′（x），h（x）的变化