知识讲解-解三角形的应用举例-提高

解角的用例编稿：张林娟

审稿：孙永钊【习标能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方.【点理要一解角应题步解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪解三角形问题，即应用哪个定理来解决其解题的一般步骤是：准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的系；根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解(4)将角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问解题时应认真分析题意，做到算法简练，算式工整，计算正.要二解角应题基思实际问

画图

数学问

解三角形

数学问的解

检验

实际问的解要三实问中一名、语仰和角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡和度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常字母i表示.坡比坡角的正切值方角方角方角一指正北方向线顺时针旋转到到目标方向线的水平角.方位角的取值范围为0°～360°.如图，点B的方位角是135

.方角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方线所成的角(一般指锐角)，通常表达成南)偏西)多少度如图为南偏西

方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转

如图为北偏东30方（指从正北开始正东方向旋转东方：经过目标的射线是正东与正南的夹角平分.依此可类西南方向、西北方向等；要四解角应中常题用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度测过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精越高.【型题类一距问例1.如图，、两都在河的对岸（不可到达者在河岸边选定两点、D测得m，并且在C、D两点分别测得

ADB

30

45

求河的对岸的两点、sinBCD40sin30sinBCD40sin30间的距离【思路点拨】这是一道关于研究两个不可到达的两点之间的距离测量问题.题目件告诉了边的长以及以、D顶点的四个角根据三角形的内角和定理弦定理很容易算出AC、AD、或BD然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB的离【解析】在ADC中

，60

，ADC45

ACB

30

90

，在Rt中，AD

CD402（m在中，ADB

，BCD

，ADC

，ADB60105，DBC

由正弦定理得：BDsinDBC

202（m）在中由余弦定理得：AD

ADBDcos60

20故A间距离为206【总结升华】此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出.举反：【变式1】如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的侧，在所在的河岸边选定一点C，出的离是42m，，ACB75

.求A、B两的距离【答案】根据正弦定理，得

ACBABC

，∴AB

ACsin42sin26(m)ABCsin答、B点间的距离为m.【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上D、间距离，为此在山一侧选取适当点，图，测得CA，CB，ACB60

，又测得AB两点到隧道口的距离AD80m

，BED、E、在条直线上)，计隧道的.【答案】在△ABC中CB，ACB由余弦定理得AB

AC

BC

∴∴ABAD.答：隧道长约为409.2m.

2007529.2(m)类二测高问【清堂解三角形应用举例377493例2例人在塔的正东沿着南偏西6方向前进40米后望见塔在东北方向，若沿测得塔的最大仰角为

塔高.【思路点拨】找出“当看到塔的最大仰角时，某人的位置”是解决本题的关键.先出空间图形再将空间问题转化为平面问题，利用正、余弦定理求..【解析】由右图所示，过B做BE于E，题意知在E点得塔的最大仰角3

，在在△BCD中，CD40,BCD

,DBC135

.由正弦定理CDDBCBCD∴BD

40sin30

在RtBED中BDE

，∴sin15

20

64

10(3

，在Rt中30

∴ABBEtan30

3)

（米）故所求塔高为

(33)

米【总结升华】测高度是在与面垂直的竖直平面内构造三角形依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联.举反：BCBCBCBC【变式某处测得建筑物的端仰角为BE方向前进30m点C处得端A仰角为2再继续前进103m至点，得顶端的角为4求大和建筑物的.【答案】所求角15

，建筑物高度为

.类三方角题例图一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北

的方向上驶后达处得此山顶在偏北75

的方向上角15

此山的高度CD【思路点拨】欲求出，只需在BCD中求出BD或BC，在BCD中求BC边比较适合；或设

，列方程解.【解析】方一在中，

，

，2，根据正弦定理：=，C

sinsin30sinsin45

，∴CBtan15

8tan15

3(km).方二设CD=x，则

CDCD3)tan150

，根据正弦定理：=，C

sinsin30sinsin45

，∴(23)x，解得x16(km答：此山的高度为8.

，即3(km).【总结升华】正确地画出其空间示意图、将空间问题转化为平面问题是解题的关.举反：【变式两灯塔B与洋观察站的距都等于塔在察站的偏30在观察站南西60则A、之的距离为.【答案】2

灯塔B如图，AC

，ACB18090

，AB2km.【变式2如图所示知座塔和与洋观察站C的离都等于灯在察站的北偏东20°灯塔B在察站C的偏东40°，则灯塔A灯塔B的离()A.akmC.2【答案】类四航问

B.akmD.【清堂解三角形的应用举例377493例3】例4.如图所示在岸A处发现北偏东45°向距为3)kmB处一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距为2km的C处缉私船奉命以103km/h的度追截走私此时走私船正以10的度从B处北偏东30°方向逃窜,则缉私船沿什方向能最快追上走私?求出所需要的时.【思路点拨】仔细审题，画出示意图，即可求出CD的位角及由C到D需航行的时.这里必须弄清楚三个概念：(1)方位角(2)沿什么方向追，按什么方位角航行最快追上，即应理解为按直线航行，且船所用时间相等.【解析】设缉私船追上走私船需th，3t由余弦定理，得

，BDt

.

AB831)cos(45

)6(km)，由正弦定理，得

ACBC2

，∴ABC45

，CBD

，∴sinBCD

BDtsin1203t

＝＝＝＝∴30

，BDC

.∴BDBC)

，即1t，∴t

(h).答：缉私船向东偏北30方，只需

便能追上走私.【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图.举反：【变式1】如图A，是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A北偏东45°，B点偏西60°D有一艘轮船发出求救信号，位于B点偏西60°且与B点距203海的的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小，求该救援船到达点要多长时间？【答案】由意知AB53045，∴，在△DAB中由正弦定理得

∴DB

AB53sinADBsin105

sin

4560cos45

sin60

＝3又∠DBCDBA＋60，，在△中，由余弦定理得CD

＋

2300×20×

＝900，∴

(海里，需要的时间

(小).答：救援船到达D点需要1小时【清堂解三角形应用举例377493变式练】【变式2图所示中岛A的围海里内有暗礁某船正由北向航行处得岛在船的南偏东30航30里后，在C处得小岛在船的南偏东450，如此船不改变航向，继续向航行，有无触礁危险？，∴，∴【答案】船继续向南航行，有无触