数学物理方法复变函数复习

第一篇复变函数（串讲）总的概念：微分积分级数留数定理极限连续可导解析C-R条件初等函数调和函数1个定义，2个定理，3个公式泰勒级数罗朗级数孤立奇点实函数的积分第一章解析函数基本要求：熟练掌握复数的各种表示方法及六则运算；掌握复变函数极其极限、连续的概念；掌握区域、邻域等概念，理解复变函数的几何意义。§1.复数与复数运算（复习）一、复数及其表示（复数的三种表达方式）1.直角系：（代数式）2.极坐标系（指数式）（三角式）欧拉公式二、复数运算1、两个复数相等2、加减法：（代数式）yx3.乘除法（指数形式）4.乘方、开方设：隶模弗公式：乘方：开方：z开n次方，有n个不同的、独立的根。5.共轭运算【例】【例】零模为0辐角不确定无穷大模为∞辐角不确定三、无穷远点二、复变函数的定义及几何表示三、复函数的极限四、复函数连续的概念一、区域的概念§2复变函数五：解析函数（重点）正确理解解析函数的定义，正确判断函数的解析性，牢固掌握并熟练运用C－R条件；掌握解析函数与调和函数的关系；掌握初等函数的定义、性质和解析性；§1复函数的导数定义：设=f(z)定义在区域G上，zG，若存在则称f(z)在z点可导，该极限值称为=f(z)在z点的导数。记做：或复函数中的导数公式与实函数是相同的。RezC-R条件(直角坐标系)C-R条件（极坐标系）可导的必要条件－C-R条件1）C-R条件是可导的必要条件。说明：2)说明一个在z点可导的复函数，它的实虚部不再是独立的，必须满足C-R条件所给的关系。3)可以通过复函数的实虚部求复函数导数。可导的充分条件设：函数f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)，若在点z(x,y)处，u(x,y)和v(x,y)的一阶偏导数存在且连续，并满足C-R条件，则f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)在z点一定可导。即：

一、定义【例】f(z)＝zRez,考察f(z)在z=0点是否解析?二、奇点§2解析函数三、解析函数的必要和充分条件四、解析函数与调和函数的关系调和函数定义共轭调和函数区域G上满足C-R条件的一对调和函数，称为共轭调和函数。若2u＝02v＝0则u,v为一对共轭调和函数且已知调和函数u(x,y)(作为解析函数的实部)求出另一个调和函数v(x,y)(作为解析函数的虚部)构造f(z)＝u+iv解析函数关键定理：解析函数的实部与虚部是一对共轭调和函数。选择路径的关键是①简单②路径上被积函数有定义曲线积分法凑全微分法偏导数法§3.初等函数初等函数：在定义域内可用一个统一的解析表达式来表示，两大类单值函数多值函数从三个方面对初等函数进行认识1）定义；2）解析性；3）性质（与实函数的比较）多值函数(难点)1.根式函数(幂函数n=z的反函数)是一个n值函数主值分支第m个单值分支2.对数函数(e=z的反函数)对数函数为无穷多值的函数k=0,=lnz=ln|z|+iargz主值分支实函数对数3.一般幂函数=z

a

a为任意复数a=n(整数)

=zn幂函数(单值)(有理数)m值函数,m≥2a其它无穷多值【例1】计算:(1)Ln(sini)，(2)21+i，

（3）i1/i【例2】解sinz的零点(解方程:sinz=0)第二章Cauchy定理Cauchy积分公式本章主要从积分角度来讨论解析函数的性质主要内容:一个定义,两个定理,三个公式§1复积分的概念及性质分割、求和、取极限一个复积分等价于两个二元的实的曲线积分一、定义另一种观点：用实积分求复积分的解题步骤：①建立曲线方程②找到曲线上被积函数和积分元的表达式③将二元函数的线积分化为一元函数的定积分例：求(n为整数)C:|z-a|=≠0复函数满足什么条件时积分与路径无关。

单连通域复连通域§2.Cauchy定理一、单连通区域的Caucy定理积分与路径无关二、复连通区域的Caucy定理三、不定积分、原函数

§3Cauchy积分公式一、Cauchy积分公式：【例】§4Cauchy积分公式的主要推论【例】求导数公式：两个定理单连域Cauchy定理复连域三个公式Cauchy积分公式（有界区域）高阶导数公式牛－莱公式一个定义

复积分【例】幂级数1、定义：2、敛散性阿贝尔第一定理：若幂级数在z1点收敛，则此级数在以z0为心，|z1-z0|为半径的圆内绝对且一致收敛。推论：若在z2点发散，则此幂级数一定在以z0为心，|z2-z0|为半径的圆外发散。第三章泰勒展开和罗朗展开4.幂级数的解析性(1)幂级数的和函数在其收敛圆内是一个解析函数。(2)幂级数在其收敛圆内可做逐项积分、逐项微分运算，且运算结果收敛半径不变。5、幂级数的乘积公式§2解析函数的泰勒展开一、泰勒定理若f(z)在区域G内解析，z0∈G,只要圆:│z-z0│≥

R

含于G内，则f(z)在圆内任意一点z可展为幂级数

其中：C为闭圆:│z-z0│≥R的边界，方向为逆时针方向∆2：收敛半径：R=LL：展开中心到被展函数离z0最近的奇点的距离展开的三要素：展开中心，收敛半径，展开系数∆1：展开中心：题目中给定∆3：展开系数由不同的展开方法求出1、直接展开法利用：基本展式2、间接展开法理论依据：泰勒展开的唯一性出发点：基本展式方法一、变量变换方法二、算术运算法方法三、分析运算法微分法：积分法：§3罗朗展开一、罗朗定理：若f(z)在环域G：R1<|z-z0|<R2中单值解析，则对于环域内的任何z点，f(z)可以展为幂级数C是G内任意一条包围内圆的闭合曲线。积分沿路径正方向R2R1C1CC21)同一函数，同一展开中心，在不同区域的展式是不同的。2)展式中指标k的处理是灵活的。3)罗朗级数并不一定能反应展开中心的奇异性只有在孤立奇点的去心邻域作罗朗展开时，所得的罗朗展式才能反应此孤立奇点的奇异性。二、罗朗展开方法：主要为间接展开【例】在展开单值函数的孤立奇点孤立奇点的定义奇点孤立奇点可去奇点极点本性奇点非孤立奇点孤立奇点的分类定义：若f(z)在孤立奇点z0去心邻域（0＜|z-z0|<R)内，罗朗展式为(1)没有负幂项——称z0为f(z)的可去奇点(2)有有限项负幂项（m项）—

z0为f(z)的m阶极点(3)有无限多个负幂项—

z0为f(z)的本性奇点不存在判断零点的方法法一：利用零点阶数的定义（m较小）若Φ(z)在z0点解析，且Φ(z0)≠0。则z0是m阶零点法二：将函数g(z)在z0点的泰勒展开作变形【例】g(z)