数学建模入门知识

数学建模竞赛培训2012.07.14参考书籍

•姜启源、谢金星、叶俊：数学模型(第3版)，高等教育出版社.

•

GiordanoR.F.etc：AFirstCourseinMathematicalModeling，

ThomsonLearningAsiaPte.Ltd.(有中译本)

•Lucas

F.W：微分方程模型(中译本)，国防科技大学出版社.

•Lucas

F.W：政治及有关模型(中译本)，国防科技大学出版社.

•Lucas

F.W：离散与系统模型(中译本)，国防科技大学出版社.

•Lucas

F.W：生命科学模型(中译本)，国防科技大学出版社.

•叶其孝：大学生数学建模竞赛辅导教材(1，2，3，4，5)，

湖南教育出版社.

•谢金星、薛毅：优化建模与lindo/lingo软件，清华大学出版社.•薛毅、陈立萍：统计建模与R软件，清华大学出版社.

•数学的实践与认识（月刊）1996~2001•工程数学学报（双月刊）

2002~使用软件•

MATLAB•

MATHEMATICA•

MAPLE•

LINGO•

SPSS•SAS•

R问题的分析模型的假设模型的建立模型的求解及结果模型、结果的分析及检验问题的提出必要的计算机程序摘要参考文献如何写好数学建模论文西北工业大学叶正麟

/v_show/id_XMzA0OTI5ODQ=.html正文答卷结构和内容

科技论文的文章构成前置部分题目(Title)作者(Author)摘要(Abstract)关键词(KeyWord)主体部分引言(Introduction)正文(MainBody)结论(Conclusion)参考文献(Reference)附录问题的分析模型的假设模型的建立模型的求解及结果结果的分析及检验章123节

条.21.2.3图1.1图1.2表1.1表1.2论文的拓扑结构[1]姜启源.数学模型.第3版[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]曹炬,周济.矩形件排样优化的一种近似算法[J].计算机辅助设计与图形学学报.1995,7(3):190~195.(国家标准GB7713-87)例1.

投资的收益与风险(CUMCM98A).市场上有n种资产(股票、债券、…)Si(i=1,2,…,n).某公司有一笔相当大的资金(数额为M)可作一个时期的投资.该公司的评估和预测:投资Si的平均收益率ri,风险损失率qi

.投资越分散,总体风险越低.总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量.购买Si的交易费率pi,且购买量不超过ui时按购买ui计算.同期银行存款利率r0(取5%)

,无交易费用无风险.Si

ri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1S2S3S4

282.51.0103211.52.0198235.54.552252.66.540给该公司设计一种投资组合方案，使净收益尽可能大，总体风险尽可能小.基本假设

1.投资数额M相当大；2.投资越分散总的风险越小；3.总体风险用所投资项目Si中最大的风险来度量；4.n种资产Si之间相互独立；5.在投资期间，ri,pi,qi为定值，不受意外因素影响；6.净收益和总体风险只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰.风险度

收益

x0x1

x2

x3x40.00600.20190.00000.24000.40000.10910.2212•例2.

逢山开路(CUMCM94A).

要在一山区修建公路,首先测得一些地点的高程,数据见图(平面区域0≤x≤5600,0≤y≤4800,表中数据为坐标点的海拔高程,单位:米).数据显示:在y=3200处有一东西走向的山峰;从坐标(2400,2400)到(4800,0)有一西北东南走向的山谷;在(2000,2800)附近有一山口湖,其最高水位略高于1350米,雨季在山谷中形成一溪流.经调查知,雨量最大时溪流水面宽度w与(溪流最深处的)x坐标的关系可近似表示为

公路从山脚(0,800)处开始,经居民点(4000,2000)至矿区(2000,4000).已知路段工程成本及对路段坡度(上升高程与水平距离之比)的限制如表.试给出一种线路设计方案,包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道),并估算该方案的总成本.480013501370139014001410960940880800690570430290210150

440013701390141014301440114011101050950820690540380300210

4000138014101430145014701320128012001080940780620460370350

36001420143014501480150015501510143013001200980850750550500

3200143014501460150015501600155016001600160015501500150015501550

28009501190137015001200

1100

15501600155013801070900105011501200

240091010901270150012001100

1350

1450120011501010880100010501100

2000880106012301390150015001400

90011001060950870900930950

1600

830980118013201450142014001300700900850840380780750

1200740880108011301250128012301040900500700780750650550

800

650

760880970102010501020830800700

300

500550480350

400510620730800850870850780720650500200300350320

0

370470550600670690670620580450400300

100

150

250

y/x

0400800120016002000240028003200360040004400480052005600工程种类一般路段桥梁隧道工程成本(元/米)30020001500(长度300米)；3000(长度300米)坡度限制<0.125=0<0.100北1）地势面是连续、光滑的，即高度的变化连续，不考虑悬崖、峭壁；基本假设2）公路为一几何线，即不考虑公路的宽度，不计拐弯处的半径要求；3）不考虑地质结构对修路、架桥、修隧道的影响。记山脚S(0,800)，居民点R(4000,2000)，矿区M(2000,4000)

在上述假设下，问题简化为求联结S,R,M的最小成本路线。模型结果1)桥址：B1(2960,1800),高程

z1=860m,

B2(3000,1860),高程

z2=860m,满足＝0；桥长：l桥=72m，成本：

c桥=14.4万元；2)隧道址：D1(4400,3080),高程

z1=1320m,

D2(4400,3300),高程

z2=1337.5m,满足<0.1；隧道长：l道=220.7m，

成本：

c道=33.1万元；3)公路：(S-B1)

(B2-R)

长：l1=5375m，

成本：c1=161.2万元；

(R-D1)

(D2-M)

长：l2=5884m，

成本：c2=176.5万元；全线总长：l=5375+72+5884+220.7=11551.7m；全线总成本

c=161.2+14.4+176.5+33.1=385.2万元.4)不修隧道：lR-M=7572m,

cR-M=227万元；

与修隧道比较：cR-M=c2+c道=176.5+33.1=209.6万元。针对“逢山开路”例题中的山区地貌数据，将原间隔400米的网格加密为间隔50米的网格作三次样条插值，画出带有等高线的地貌图，并标示出x,y,z坐标轴。48004400400036003200280024002000160012008004000135013701390140014109609408808006905704302902101501370139014101430144011401110105095082069054038030021013801410143014501470132012801200108094078062046037035014201430145014801500155015101430130012009808507505505001430145014601500155016001550160016001600155015001500155015509501190137015001200110015501600155013801070900105011501200910109012701500120011001350145012001150101088010001050110088010601230139015001500140090011001060950870900930950830980118013201450142014001300700900850840380780750740880108011301250128012301040900500700780750650550650760880970102010501020830800700300500550480350510620730800850870850780720650500200300350320370470550600670690670620580450400300100150250y/x0400800120016002000240028003200360040004400480052005600数据插值结果例3.

洗衣机的节水设计(CUMCM96B).我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，节约洗衣机的用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水－漂洗－脱水－加水－漂洗－脱水－…－加水－漂洗－脱水(称“加水－漂洗－脱水”为运行“一轮”)。请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总的用水量最少。选用合理的数据进行计算。问题分析洗衣的基本原理：将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带走污物，即

溶污物－脱污水洗衣的过程：通过加水来实现溶污物－脱污水动作的反复进行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直至达到满意程度。溶污物－－“洗涤”（首轮）和“漂洗”脱污水－－“排水”和“甩干”两个环节问题的要点：1）污物溶解的情况？2）每轮洗涤后污物减少的情况？3）由一系列“加水－漂洗－脱水”构成的节水洗涤程序？基本假设1）仅考虑离散的洗涤方案，即“加水－漂洗－脱水”三个环节是分离的，这三个环节构成一个洗涤周期，称为“一轮”；2）节水洗涤程序设计只考虑洗涤的轮数和加水量；3）每轮用水量不能低于L，以保证洗衣机工作，不能高于H，否则水会溢出，显然不节水；4）每轮漂洗时间足够，以使衣物上的污物充分溶解水中，使每轮的加水被充分利用；5）每轮脱水时间足够，以使污水充分脱出，即衣物中所含的污水量达到一个低限c，设0cL

；基本变量1）漂洗共进行n

轮，k=0,1,2,…n–1；2）第k轮用水量为uk，k=0,1,2,…n–1；3）衣物上的初始污物量为x0，第k轮脱水后衣物上附着的污物量为xk+1，k=0,1,2,…n–1.仿真计算数据：取=10–3，L/H=0.25，c/H=10–5结果：Q

n

vkvk0.9921.95630.978232.72730.909143.32190.830553.78190.756464.14410.690774.43510.633684.67320.584294.87140.5413105.03860.5386Qnvkvk0.9921.95630.97820.9532.84210.94740.9033.65640.91350.8543.86900.96730.8054.68010.93600.7065.86100.97680.6087.71080.96380.50109.97640.9976例4.

零件的参数设计(CUMCM97A).

一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数.零件参数包括标定值和容差两部分.进行成批生产时,标定值表示一批零件的该参数的平均值,容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围.若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值,在生产部门无特殊要求时,容差通常规定为均方差的3倍.

进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差.这时要考虑两方面因素:一是当各零件组装成产品时,如果产品参数偏离预先设定的目标值,就会造成质量损失,偏离越大,损失越大;二是零件容差的大小决定了其制造成本,容差设计得越小,成本越高.

下面是一个具体的零件参数的设计问题.

粒子分离器的某参数(记作y

)由7个零件的参数(记作x1,

x2,…,x7

)决定,经验公式为

y

的目标值(记作y0)为1.50.当y

偏离y0±0.1时,产品为次品,质量损失为1,000(元)；当