教育与心理统计八参数估计

第八章参数估计参数(cānshù)估计的一般问题一个总体参数(cānshù)的区间估计两个总体参数(cānshù)的区间估计样本容量的确定精品资料学习(xuéxí)目标估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价(píngjià)估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本容量的确定方法精品资料参数估计在统计方法(fāngfǎ)中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计精品资料统计(tǒngjì)推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比例、方差总体均值、比例、方差等精品资料参数估计的一般(yībān)问题估计量与估计值点估计与区间(qūjiān)估计评价估计量的标准精品资料估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计(tǒngjì)量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)精品资料参数估计的方法(fāngfǎ)矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计精品资料点估计

(pointestimate)用样本的估计量直接作为总体参数(cānshù)的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2. 不足：没有给出估计值接近总体参数(cānshù)程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等精品资料问题(wèntí)的提出：这种形式的参数估计方法称为(chēnɡwéi)区间估计.精品资料区间(qūjiān)估计

(intervalestimate)在点估计的基础(jīchǔ)上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限精品资料区间(qūjiān)估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.64x+1.64x精品资料

置信区间与置信水平（置信度）

定义：

置信区间置信水平.精品资料1、将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含(bāohán)总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2、表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3、常用的置信水平值有0.99,0.95,0.90相应的为0.01，0.05，0.104、由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间5、统计学家在某种程度上确信这个区间会包含(bāohán)真正的总体参数，所以给它取名为置信区间6、注意：用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含(bāohán)总体参数的真值**我们只能是希望这个区间是大量包含(bāohán)总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含(bāohán)参数真值的区间中的一个精品资料置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-)区间包含了的区间未包含1–aa/2a/2置信度和置信区间的意义(yìyì):精品资料两点说明(shuōmíng):精品资料影响区间(qūjiān)宽度的因素1.总体数据的离散程度(chéngdù)，用来测度2、样本容量，3. 置信水平(1-)，影响z的大小精品资料良好(liánghǎo)估计量的标准无偏性：估计(gūjì)量抽样分布的数学期望等于被估计(gūjì)的总体参数P(

)BA无偏有偏精品资料有效性：对同一总体参数(cānshù)的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布P(

)精品资料一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体(zǒngtǐ)参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)充分性：一个容量为n的样本统计(tǒngjì)量，是否充分地反映了全部n个数据反映总体的信息。精品资料单总体参数的区间(qūjiān)估计精品资料总体均值的区间(qūjiān)估计估计总体平均数的步骤：（P204）1、根据实得样本的数据，计算(jìsuàn)样本的平均数与标准差。2、计算(jìsuàn)标准误3、确定置信水平或显著性水平4、根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表。5、计算(jìsuàn)置信区间6、解释总体平均数的置信区间精品资料总体均值(jūnzhí)的区间估计假定条件（1）总体服从正态分布,且方差(２)已知（2）如果非正态分布，２未知的大样本(yàngběn)(n30)2、使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为精品资料解

例

精品资料【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量(zhìliàng)进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。精品资料解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算(jìsuàn)得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均(píngjūn)重量的置信区间为[101.44，109.28]精品资料２未知的大样本(yàngběn)(n30)例：从某年高考随机抽102份作文试卷(shìjuàn)，算得平均分为26，标准差为1.5，试估计总体平均数95%的置信区间。精品资料解：已知n=102,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据(shùjù)计算得：

总体(zǒngtǐ)均值在0.95置信水平下的置信区间为：[25.709，26.291]精品资料总体均值的区间(qūjiān)估计1. 假定条件总体(zǒngtǐ)服从正态分布,且方差(２)未知小样本(n<30)使用t分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为精品资料t分布(fēnbù)t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定(tèdìng)的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z精品资料例：书P2077-3精品资料总体(zǒngtǐ)均值的区间估计【例】已知某种灯泡(dēngpào)的寿命服从正态分布，现从一批灯泡(dēngpào)中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡(dēngpào)平均使用寿命95%的置信区间精品资料解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据(shùjù)计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡(dēngpào)平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时精品资料标准差的区间(qūjiān)估计1. 假定条件样本容量大于30，样本标准差分布(fēnbù)近似服从正态分布(fēnbù)。2、总体标准差在1-置信水平下的置信区间为例子：P208T7—5精品资料总体(zǒngtǐ)方差的区间估计1. 目的：估计一个(yīɡè)总体的方差或标准差2. 假设条件：假设总体服从正态分布3、总体方差2的点估计量为S2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为精品资料总体(zǒngtǐ)方差的区间估计221-2总体方差1-的置信区间自由度为n-1的2例：P209T7—6精品资料积差相关系数的区间(qūjiān)估计（P214）1、总体相关系数为0样本相关系数的分布，服从自由度df=n-2的t分布置信区间：2、总体相关系数不为0如果n>500，置信区间为：3、FISHZ函数分布计算第一步：查附表，r转换(zhuǎnhuàn)为Zr第二步：总体的FISHZ的置信区间为：第三步：将总体FISH系数的置信区间转换(zhuǎnhuàn)成相关系数。例：P215T7—9精品资料等级(děngjí)相关系数的区间估计1、当9<n<20时，rR的自由度df=n-2,置信区间为：2、若n>20时，rR的分布(fēnbù)近似正态分布(fēnbù)，置信区间为：例：P216T7—10精品资料总体(zǒngtǐ)比例的区间估计1. 假定条件当np>5时，可以由正态分布来近似(jìnsì)使用正态分布统计量z3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为例：P2177—11精品资料【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为(rénwéi)女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性(nǚxìng)比例的置信区间为55.65%~74.35%精品资料总体比例(bǐlì)的区间估计当np<5时，此时(cǐshí)二项分布不接近正态分布。例：P2187—13精品资料两个总体参数(cānshù)的区间估计精品资料两个总体均值(jūnzhí)之差的估计

(独立的随机样本)1. 假定条件(1)两个(liǎnɡɡè)总体都服从正态分布，1２、2２已知(2)非正态分布,1２、2２未知大样本(n130和n230)使用正态分布统计量z精品资料两个总体(zǒngtǐ)均值之差的估计1. 1２，2２已知时，两个总体(zǒngtǐ)均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为1２、2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为精品资料两个总体(zǒngtǐ)均值之差的估计【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取(chōuqǔ)两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间English精品资料解:两个总体(zǒngtǐ)均值之差（1-2）在1-置信水平下的置信区间为:两所中学高考英语(yīnɡyǔ)平均分数之差的置信区间为[5.03，10.97]分精品资料两个(liǎnɡɡè)总体均值之差的估计

(独立小样本:12=22)1. 假定(jiǎdìng)条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)总体方差的合并估计量估计量x1-x2的抽样标准误精品资料两个总体均值(jūnzhí)之差的估计两个(liǎnɡɡè)样本均值之差的标准化两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为精品资料两个总体(zǒngtǐ)均值之差的估计【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差(fānɡchà)相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间21精品资料解:根据样本数据(shùjù)计算得合并估计量为：两种方法组装产品所需平均(píngjūn)时间之差的置信区间为[0.14，7.26]分钟。总体均值之差1-2在95%置信水平下的置信区间为：精品资料两个(liǎnɡɡè)总体均值之差的估计

(小样本:1222)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：1２2２两个独立(dúlì)的小样本(n1<30和n2<30)使用统计量精品资料两个总体均值(jūnzhí)之差的估计

(小样本:1222)两个(liǎnɡɡè)总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为自由度精品资料两个总体均值(jūnzhí)之差的估计【例】沿用前例。假定第一种方法(fāngfǎ)随机安排12名工人，第二种方法(fāngfǎ)随机安排名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法(fāngfǎ)组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法(fāngfǎ)组装产品所需平均时间差值的置信区间21精品资料解:根据样本(yàngběn)数据计算得自由度为：两种方法(fāngfǎ)组装产品所需平均时间之差的置信区间为[0.192，9.058]分钟精品资料两个总体(zǒngtǐ)均值之差的估计

(匹配大样本)假定条件两个匹配的大样本(yàngběn)(n130和n230)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为对应差值的均值对应差值的标准差精品资料两个总体均值(jūnzhí)之差的估计

(匹配小样本)假定条件两个匹配的小样本(n1<30和n2<30)两个总体(zǒngtǐ)各观察值的配对差服从正态分布两个总体(zǒngtǐ)均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为精品资料两个总体均值(jūnzhí)之差的估计【例】由10名学生(xuésheng)组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差d=1-295%的置信区间STATISTICS精品资料解:根据样本(yàngběn)数据计算得两种试卷(shìjuàn)所产生的分数之差的置信区间为：[6.33，15.67]分精品资料1. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本(yàngběn)是独立的2. 两个总体比例之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个(liǎnɡɡè)总体比例之差的区间估计参考：例：P2197—14、7—15精品资料实例：某个(mǒuɡè)同学针对某个(mǒuɡè)电视节目的收视率做了一次调查。在调查中，农村随机调查了400人，统计有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，统计有45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间12精品资料解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度为95%的置信区间为城市(chéngshì)与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%精品资料两个总体(zǒngtǐ)方差比的区间估计1. 目的：比较两个总体的方差比方法(fāngfǎ)：用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异总体方差比在1-置信水平下的置信区间为精品资料两个总体方差比的区间(qūjiān)估计FF1-F总体方差比1-的置信区间方差比置信区间示意图精品资料两个总体方差比的区间(qūjiān)估计【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到(dédào)下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间精品资料解:根据(gēnjù)自由度n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度为90%的置信区间为男女(nánnǚ)学生生活费支出方差比的置信区间为0.47~1.84精品资料样本容量的确定(quèdìng)估计(gūjì)总体均值时样本容量的确定估计(gūjì)总体比例时样本容量的确定估计(gūjì)两个总体均值之差时样本容量的确定估计(gūjì)两个总体比例之差时样本容量的确定精品资料估计(gūjì)总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差2、边际误差E（估计(gūjì)误差范围）、可靠性系数Z或t之间的关系为：与总体方差成正比与边际误差成反比与可靠性系数成正比估计总体均值(jūnzhí)时样本容量的确定其中：精品资料估计总体(zǒngtǐ)均值时样本容量的确定【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计(gūjì)年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？精品资料解:已知=2000，E=400,1-=95%，z/2=1.9612/22置信度为90%的置信区间为即应抽取97人作为(zuòwéi)样本精品资料1、根据比例区间估计(gūjì)公式可得样本容量n为估计总体比例(bǐlì)时样本容量的确定

E的取值一般小于0.1

未知时，可取最大值0.5其中：精品资料估计总体比例(bǐlì)时样本容量的确定【例】根据以往的生产统计，某种产品(chǎnpǐn)的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品(chǎnpǐn)作为样本？解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%应抽取的样本容量为

应抽取139个产品作为样本精品资料设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据均值之