周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章4分析力学

第五章分析力学拉格朗日哈密顿导读动能和势能的泰勒展开线性齐次方程的求解简正频率简正坐标§5.4小振动1多自由度力学体系的小振动

一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的广义坐标均等于零.如果力学体系自平衡位置发生微小偏移,力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数,利用保守体系的平衡方程,略去二级以上的高级项并令V0=0,就得到在稳定约束时,动能T只是速度的二次齐次函数,即式中系数a是广义坐标q的显函数.把a在力学体系平衡位形的区域内展成泰勒级数,就得到由于q值很小,因此展开式中只保留头一项,动能T变为现在式中系数a是不变的.c称为恢复系数或准弹性系数,而a则称为惯性系数.所以

把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体系在平衡位置附近的动力学方程这是线性齐次常微分方程组,它的解式中A及是常数.把这表示式代回,得从行列式求出2s个的本征值l,(l＝1,2,…,2s).然后求出一组A(l),方程式的解即是为了物体在平衡位置附近振动,则力学体系的势能V

>0(即平衡位置V＝0是极小值),方程所有的根l为纯虚数.既然l是纯虚数,

因此可令这样,解可以写为实数解为实际上,我们把的某一本征值l代入原方程后,并不能得出s个互相独立的常数A

(＝1,2,…,s),而只能得出它们的比,因为此时系数行列式等于零.如果行列式的(s-1)阶代数余子式中有一个不等于零,则在一组解A

中只有一个数是可以任意取的.如果设此常数为A(l)

,则A(l)可写为即在方程的解中共有2s2个常数,因为每个l对应一个任意常数,而共有2s个l,所以2s2个常数只有2s个是独立的.这2s个常数,可由起始条件决定,即t＝0时的初始位置和初始速度应为已知.这样，实数解：这里的l叫做简正频率,它的数目共有s个,和力学体系的自由度数相等.

多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势能和动能中都有交叉项(相互作用).消除之,可以简化问题.因为动能总是正定的,根据线性代数理论,总能找到线性变换使得T和V同时变成正则形式,即没有交叉项.变换后2简正坐标相应的拉氏方程为所以可得,解式中坐标l叫做简正坐标,l仍为简正频率.每一个简正坐标都做具有自己固有频率

l的谐振动,而广义坐标,作为简正坐标的线性函数,将是s个谐振叠加而成的复杂运动.

例1

耦合摆两相同的单摆,长为a,摆锤的质量为m,用倔强系数为k且其自然长度等于两摆悬点之间距离的无重弹簧相耦合.略去阻尼作用,试求此体系的运动.解:

两个摆在同一平面内振动,取振动平面为xy平面,并且令两个摆锤的坐标为(x1,y1)及(x2,y2),则由于约束关系(两摆的摆长一定),四个坐标中只有两个是独立的.选x1及x2作为两个广义坐标,而x1及x2等于零时相当于耦合摆的平衡状态.y2y1x1x2aa耦合摆的势能等于弹簧的弹性势能与摆锤重力势能两者之和,即耦合摆的动能为因为故为了算出在平衡位置附近的势能及动能,按泰勒级数展开,可得又故在平衡位置附近,V与T简化为运用拉氏方程,得动力学方程这是二阶常系数线性齐次方程组,具有形式解所以此方程组有非零解的充要条件为由此得到4个本征值如下:这样得到通解把1,2代入行列式,得到4个任意常数由初始条件决定.如果令则1,2将以单一的频率1,2振动,因此1,2就是简正坐标.例2线对称三原子分子的振动设两个质量为m的原子,对称地位于质量为M的原子两侧,三者皆处于一直线上,其间的相互作用可近似地认为是准弹性的,即相当于用弹性系数为k的两个相同弹簧把它们联结起来.如平衡时,M与每一m间的距离均等于b,求三者沿联线振动时的简正频率.解:

由图知,若以水平轴x上某处O为原点.系统的势能为而mmM令则本问题是三个自由度,故q1,q2,q3