l第十三章实数教材分析新

第十三章实数教材分析北大附中李广丽内容提要一、本章的地位和作用二、本章课时安排三、本章内容和课程学习目标四、几个值得关注的问题五、具体教学建议六、好题推荐一、本章的地位和作用从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是“数与代数”领域的重要内容。对于有理数和实数，本套教材安排3章内容，分别是7年级上册第1章“有理数”，8年级上册第13章“实数”和9年级上册第21章“二次根式”。本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要在“二次根式”一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算。本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题．虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备二、本章课时安排

本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：

10．1平方根

3(4)课时

10．2

立方根

2(1)课时

10．3实数2课时

数学活动与

小结

1课时三、本章内容和课程学习目标（一）本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算．（二）本章知识结构框图

1．本章知识的内在结构如下图所示：2．本章知识的展开顺序如下图所示：

（二）本章重点、难点重点:算术平方根和平方根的概念和求法难点:平方根和实数的概念．（三）内容与学习目标

1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化；4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．四、几个值得关注的问题（一）把握教学要求本册书对于某些内容采用提前渗透、逐步提高的编写方式．例如，对于平面直角坐标系，在第6章“平面直角坐标系”中研究了点与有序数对的对应关系，其中点的坐标都是整数，在本章将把点的坐标由整数的情形扩展到实数范围，并建立点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等打下基础．对于平移变换，教课书在第5章“相交线与平行线”中安排了一节“平移”，探讨得出“平移前后的两个图形的对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本性质，又在第6章“平面直角坐标系”中安排了用坐标方法研究平移的内容，从坐标的角度进一步认识平移变换，这时平移中遇到的坐标都是整数的情况．在本章，由于建立了点与有序实数对的一一对应关系，本章又在实数范围内研究平移的内容，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础．

本章还通过一个例题学习了实数的简单运算，安排这个例题的目的是要说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍然成立，关于实数的运算在后面的“二次根式”一章中还要继续研究．

85页另外，本章也提前渗透了一些数学思想和方法．比如，本章的数学活动1，涉及到勾股定理的内容，让学生利用勾股定理，在数轴上画出表示几个无理数的点．这里只是结合无理数渗透了勾股定理，关于勾股定理以后还要进行专门的研究．综上所述，本章教学时要注意把握教学要求，以一种发展的、动态的观点看待教学要求，不能要求一次到位．

（二）发挥计算器的作用，加强估算能力的培养使用计算器进行复杂运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，估算是一种具有实际应用价值的运算能力．提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、计算器和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求．76页12题任意找一个正数，比如1234，利用计算器对它进行开平（立）方，在对得到的平（立）方根进行开（立）方…如此进行下去，你有什么发现？81页10题五、具体教学建议

13.1平方根（一）让学生体会和理解算术平方根的意义

32=？

（？正数）2=9正方形的面积19164/25边长（二）算术平方根的符号表示1.求算术平方根表示形式：（1）9的算术平方根（2）若x2=9(x>0),求x

（3）2符号的意义：①提供了一种方便表示算术平方根的方法；因为2不是完全平方数，所以它的算术平方根只能用根的符号即来表示②同时也表示一种运算，即对非负数进行算术平方根运算.

3.平方根符号的演变形成公元2世纪,罗马数学家尼普萨斯用拉丁语Latus(意思为正方形的边)记平方根,后来L成为欧洲一个常用的平方根符号；16世纪德国数学家鲁多尔夫和比利时的数学家斯蒂文使用√表示平方根，1637年笛卡尔使用√作为平方根的符号；1647年英国数学家奥特雷德用√r表示平方根。1721年哈顿用3√表示立方根，4√表示4次方根。1732年卢贝尔用表示25的3次方根。后来各次方根都采用了这种形式，一直沿用至今。（三）非负性

的两个非负：（1）被开方数（2）例1.中的x取值范围为例2.已知求a,b

的值例3.已知求x+y值例4.已知求a的取值范围例5.求的最小值（四）有关本节“探究”的处理和建议问题：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形？拼法教材给出的方法：可根据情况介绍其它拼法：等于多少?教材给出了两种求的方法，一种是估算，一种是使用计算器。估算是一种具有实际应用价值的方法，提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、估算和计算器等培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求.建议教学中老师应带领学生经历估算的过程，使学生了解用夹逼法估算无理数的方法，感受是无限不循环小数这个事实；有些学生可能已经知道,不妨让学生估算常用的几个无理数的近似值建议让学生记住：

有关71例3的几点建议和想法1.需向学生解释的意义；2.给出了一种常见的用有理数估算无理数的方法（用与被开方数最接近的完全平方数来估算它的算术平方根，即当含有根式的数比较大小时，可先比较它们的平方数），应使学生掌握，并感受估算能力是生活中需要的一种能力。3.归纳比大小常用的方法：近似估值法，比平方（立方），作差等例：比较大小4.例3的延伸与开拓小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来？若把此问题中的条件“沿着边的方向裁出”改为“要剪拼出一块面积并且使剪裁的块数尽量少”，问是否可裁出？

方法一②③①①④②④③方法二①①②②方法三①①②②(五)平方根的教学1.本套教材是在算术平方根的基础上展开了对平方根的讨论和学习，介绍了利用乘方和开方互为逆运算来求平方根的方法。并用73页的图13.1-2直观地描述了乘方与开方互为逆运算的关系，揭示了开平方运算的本质。2.让学生从宏观上把握开方，理解开方是乘方的逆运算

a2=N(±3)2=？（?）2=9（2）联系加减、乘除、乘方与开方互为逆运算，使学生在六种运算的整体中认识开方运算；（3）给出具体的例子正确区分的含义；是省略+的写法需加强此方面的训练和理解，

76页11题的处理建议76页11题的处理建议

1.此题设置的目的是让学生通过一些具体的例子了解二次根式的两个行性质；2.教学要求了解，有所感受为以后学习做准备。老师可根据情况来把握要求。

具体数的计算应该掌握。例如

(六)总结算术平方根、平方根的表现形式

1.平方根：（1）9的平方根（2）（3）若，求2.算术平方根：（1）9的算术平方根（2）（3）若求例：解方程：(七)常用完全平方数：

常用完全平方数：13.2立方根(一)对于立方根，教材采用了类似平方根的方法讨论。首先也是从典型的实际问题（已知立方体的体积求边长）出发，引出立方根的概念，介绍了利用乘方与开方互为逆运算求立方根的方法，探讨了立方根的特征，最后学习使用计算器求立方根。(二)在立方根的教学中，可对比平方根进行，分析它们的区别与联系，加强新旧知识的联系，既巩固复习了平方根的知识，又利于立方根知识的理解与掌握。1.提出问题:为什么开立方时是一对一，而开平方时一对二？2.推广与延伸平方根是偶次方根的典型代表，立方根是奇次方根的典型代表；偶次方根、奇次方根具有与它们类似的性质与特征例：(1)16的4次方根是（）（2）-32的5次方根是（）(三)需注意的几个问题1.让学生熟悉常用的立方数2.理解立方根的三种的表现形式

8的立方根；；若，求

会利用立方根定义解相关方程，比如3.81页第9题通过具体的计算让学生体会和发现立方根的两个性质让学生掌握并会运用来进行具体数的计算。(四)归纳平方根与立方根的区别与联系1.平方根与立方根的特征（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；负数没有平方根；0只有一个平方根，它是0本身（2）一个正数有一个正立方根；一个负数有一个负的立方根；

0的立方根是0本身；2.3.平方根与立方根的性质

4.一般地，求一个数的平方根、立方根都有两种方法（1）根据开方与乘方互为逆运算

（2）用计算器求13.3实数(一)本节内容简介本节采用与有理数对照的方法引入了无理数的概念，并给出了实数的概念与分类。接着通过探究在数轴上画出表示和的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出数轴上的点与实数是一一对应的，平面上的点与有序实数对是一一对应的。接下来结合具体的例子说明随着无理数的引入，数域扩展到实数后，在有理数范围内成立的一些概念和运算在实数范围内仍然成立。(二)实数的概念与分类1.无限不循环小数又叫无理数；有限小数或无限不循环小数是有理数。2.分数与小数的互化

所有的分数都可化为有限小数或无限循环小数。3.初中阶段常见的无理数（1）开方开不尽的数（2）含的式子（3）本身就写成了无限不循环小数的（4）三角函数(三)为使学生更好地理解无理数和有理数的概念，可简要向学生介绍它们的由来。

有理数rationalnumber（可写成两个整数比的数）无理数irrationalnumber（不能可写成两个整数比的数）徐光启在译成中文时，因为中文中没有现成的、可对照的词，理是比的意思。教参拓展资源中有介绍。(四)无理数在数轴上的表示在83页的探究活动中用滚动圆和画正方形的方法介绍了在数轴上画出的点的方法。建议老师把教材89页的数学活动提到此节后讲。数学活动1介绍了利用勾股定理在数轴上作出一些表示无理数的点。勾股定理以后还要专门研究，本节课只需让学生知道勾股定理的结论并会运用作出斜边为等的直角三角形即可。(五)实数有关概念和运算（1）引入无理数后当数从有理数的范围扩充到实数范围后，相反数、绝对值的意义同样适用，有理数的运算律和运算性质仍然成立；使得原有的规律在更大的范围继续成立这是数学推广的一个特征（2）涉及无理数的计算，可以通过取近似值转化为有理数的计算。例如（精确到0.01）在教学中老师需指出并强调：在计算过程中取的近似值要比结果的要求要多取一位小数。比如此题结果要求精确到百分位，在计算过程中就要取到千分位。六、好题推荐

1.在

中，其中：整数有

；分数有

；正有理数有

；无理数有

;

负实数有

.2.如图所示，B,C到A的距离相等，A,B在数轴上表示的数分别为1，，设C点表示的数为x，求的值

CABx1

∵CA=CB∴-1=1-xx=2-3.阅读下面的文字，解答问题.

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.

请解答：已知，其中是整数，且，求的相反数和绝对值.

4.已知103823