li协方差及相关系数中心极限定理

一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、协方差矩阵第3.3节协方差及相关系数四、小结1.问题的提出一、协方差与相关系数的概念及性质

协方差2.定义3.73.说明4.协方差的计算公式证明cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)例:设随机向量(X,Y)的概率分布为012P0.80.10.101200.10.20.210.30.10.1求DX,DY.012P0.40.30.3Y01P0.50.5

D(X)=E(X2)－[E(X)]2

例:设随机向量(X,Y)的概率分布为01200.10.20.210.30.10.1求cov(X,Y),ρ.012P0.80.10.1DX=0.69DY=0.255.协方差的性质

相关系数的性质：证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，则上式为

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y独立时，

=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.，Cov(X,Y)=0，事实上，X的密度函数例2

设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,不难求得存在常数a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.因而=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关前面，我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.如下例所示例设(X,Y)服从二维正态分布，它的概率密度为我们来求X和Y

的相关系数.已经知道（X,Y）的边缘概率密度为解例三、课堂练习1、2、1、解2、解三、协方差矩阵协方差矩阵的应用推广四、小结协方差与相关系数的定义协方差的性质相关系数的意义

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.

研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:

与大数定律中心极限定理

四、中心极限定理

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.空气阻力所产生的误差，重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.

观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.

自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.

研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.

当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态分布？

在概率论中，把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.1432

随着n的增加,pn(y)的图形越来越光滑,越来越接近正态曲线.X01pk1－pp定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）

该定理是概率论历史上的第一个中心极限定理，针对的是二项分布，因此称为‘二项分布的正态近似’.与第四章介绍的‘二项分布的泊松近似’相比，一般p较小时用泊松近似，在np>5,n(1－p）>5时，用正态近似.定理（独立同分布下的中心极限定理）

它表明，当n充分大时，n个独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，