陕西省汉中市略阳第二中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

陕西省汉中市略阳第二中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义集合运算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为

(

)

A．

0

B.

6

C.

12

D.

18参考答案：D略2.在△ABC中，角A、B均为锐角，则cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用诱导公式cos（﹣α）=sinα及余弦函数的单调性和充要条件的定义可得答案．【解答】解：因为cosA＜sinB，所以cosA＞cos（﹣B），又因为角A，B均为锐角，所以﹣B为锐角，又因为余弦函数在（0，π）上单调递减，所以A＜﹣B，所以A+B＜△ABC中，A+B+C=π，所以C＞，所以△ABC为钝角三角形，若△ABC为钝角三角形，角A、B均为锐角所以C＞，所以A+B＜所以A＜﹣B，所以cosA＞cos（﹣B），即cosA＞sinB故cosA＞sinB是△ABC为钝角三角形的充要条件．故选：C【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性及三角形的基本知识，以及充要条件的定义，属中档题．3.函数的图象大致为参考答案：C4.命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分不必要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件．则(

)A．p假q真 B．p真q假 C．p∨q为假 D．p∧q为真参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】先判断p?q与q?p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：在△ABC中，若∠C＞∠B，根据大角对大边，可得c＞b再由正弦定理边角互化，可得sinC＞sinB反之也成立．故命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分不必要条件是假命题由a＞b，当C=0时，ac2＞bc2不一定成立，但若ac2＞bc2成立，C≠0，则a＞b成立，所以a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件，故命题q为假命题，即p假q假，所以p∨q为假．故选C．【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5.(05年全国卷Ⅱ理)函数的反函数是（A）（B）（C）（D）

参考答案：答案：B6.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C由，可知函数的对称轴为，又函数为奇函数，所以有，所以，即，函数的周期为3.由得，所以当时，，即，所以，所以，因为函数为奇函数，所以，由，可得，所以，选C.7.已知数列为等比数列，，，，则的取值范围是(

)A．

B． C．

D．参考答案：D略8.有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有A．1344种

B．1248种

C．1056种

D．960种参考答案：解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有种排法.所以此时余下的这4个数字共有种方法．由乘法原理可知共有种不同的排法，选B．9.复数的虚部为（） A．i B． ﹣i C． 1 D． ﹣1参考答案：D10.对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) (B) (C) (D)参考答案：D因为函数满足，所以的图像关于直线对称，而的图像关于对称（不符合题意）；的图像关于对称，符合题意.故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于______.参考答案：

12.已知点（x，y）满足约束条件则的最小值是

。参考答案：略13.函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数。设函数为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③

当时，恒成立。则

。参考答案：114.已知函数定义域为R，满足，当时，则______．参考答案：【分析】由题可得函数为周期函数，根据函数周期的性质以及分段函数的解析式，即可求解。【详解】函数定义域为，满足，则为周期函数，由，可得：，，故答案为。【点睛】本题主要考查周期函数以及分段函数的函数值的计算，着重考查运算与求解能力，属于基础题。15.数列满足，则的通项公式＝

参考答案：16.设

参考答案：8略17.若f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（2）=．参考答案：﹣2分析： f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），由已知得到f（﹣2），再由f（2）=﹣f（﹣2），即可得到结论．解答： 解：f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（2）=﹣f（﹣2）=﹣2．故答案为：﹣2．点评： 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和已知的解析式，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列

的前三项.

（Ⅰ）分别求数列，的通项公式，.（Ⅱ）设若恒成立，求c的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）设d、q分别为数列、数列的公差与公比.由题知，分别加上1，1，3后得2，2+d,4+2d是等比数列的前三项，

……………4分由此可得

…………6分

（Ⅱ）①当，当，②①—②，得………………9分在N*是单调递增的，∴满足条件恒成立的最小整数值为

………………12分略19.已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得：，解得即可．（2）当l⊥x轴时，M，N，联立直线AN、BM的方程可得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三点共线可得t（x2+4）﹣12y2=0，只要证明三点B，M，G共线即可．利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明．解答： 解：（1）∵椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．∴，解得a2=16，b2=4，c=．∴椭圆C的方程为．（2）当l⊥x轴时，M，N，直线AN、BM的方程分别为，．分别化为：=0，=0．联立解得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．证明：当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．联立，化为（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣16=0．∴，．∵=（12，t），=（x2+4，y2），三点A，N，G共线．∴t（x2+4）﹣12y2=0，∴=由于=（4，t），=（x1﹣4，y1），要证明三点B，M，G共线．即证明t（x1﹣4）﹣4y1=0．即证明﹣4k（x1﹣2）=0，而3（x2﹣2）（x1﹣4）﹣（x1﹣2）（x2+4）=2x1x2﹣10（x1+x2）+32==0，∴﹣4k（x1﹣2）=0成立．∴存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．综上可知：存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.（12分）设A是符合以下性质的函数且

上是减函数。

（1）判断函数是否属于集合A，并简要说明理由；

（2）把（1）中你认为是集合A中的一个函数记为对任意的总成立，求实数k的取值范围。参考答案：解析：（1），不在集合A中。

………………3分又，

………………5分上是减函数，在集合A中。

………………8分

（2）当，

………………11分又由已知，因此所求的实数k的取值范围是

………………12分21.（本小题满分14分）已知函数，曲线在点处的切线为:，且时,有极值.（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案：（1），

①

.........2分将代入切线方程可得切点坐标，②

.........4分由题意又有

③

.........6分联立①②③，解得（2）由（1）可得，令，得或.极值点不属于区间,舍去.分别将代入函数得

.22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，