2022年山西省吕梁市时代中学高三数学文联考试卷含解析

2022年山西省吕梁市时代中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量，，满足，则x=（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【分析】根据向量的坐标运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量，，，则向量，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若不等式在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是()A.

B.

C.

D.参考答案：B3.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．【解答】解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+kπ，即+2kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．4.函数的图象大致是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A5.已知一个高为3且其底面是有一个内角为60°的菱形的直四棱柱直立在水平桌面上，若该直四棱柱的正视图的最小面积为，则直四棱柱的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】确定有一个内角为60°的菱形的高为，可得菱形的一条边长为，即可求出直四棱柱的体积．【解答】解：由直四棱柱的正视图的最小面积为，可得有一个内角为60°的菱形的高为，则菱形的一条边长为，∴底面的面积为=，∴直四棱柱的体积为=，故选：C．【点评】本题考查直四棱柱的体积，考查学生的计算能力，确定菱形的一条边长为是关键．6.设全集则上图中阴影部分表示的集合（

）A．

B．C．

D．参考答案：A7.如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则此几何体

的表面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即

为所求，且，，可求得表面积为.8.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为（

）A.6万元

B.8万元

C.10万元

D.12万元

参考答案：C略9.设全集，，，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可．【详解】，，则或，则，故选：．10.某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:

A型车

B型车出租天数34567车辆数330575出租天数34567车辆数101015105

根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系为（

）

A．

B． C．

D．无法判断参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于A和B两点，则AB=

．参考答案：略12.从如图所示的由9个单位小方格组成的3×3方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 .参考答案：

13.直角坐标系中，圆C的参数议程是（

为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C的极坐标是

。参考答案：14.在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________

参考答案：15.已知球O的表面积是36π，A，B是球面上的两点，∠AOB=60°，C时球面上的动点，则四面体OABC体积V的最大值为．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】球O的表面积为36π，可得半径为3，当CO垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积的最大值．【解答】解：：球O的表面积为36π，半径为3，当CO垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB==故答案为：，16.已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为__________．参考答案：略17.自治区教科院用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，则理科试卷共有

份．参考答案：450【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用分层抽样性质和概率性质求解．【解答】解：∵用分层抽样的方法，从某校600份文理科试卷中抽取部分试卷进行样本分析，其中抽取文科试卷若干份，每份文科试卷被抽到的概率为，∴文科试卷共有600×=150，∴理科试卷共有600﹣150=450份．故答案为：450．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知圆和直线．(1)求证：对总有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？参考答案：1）圆心C(0,1)，半径则圆心到直线l的距离（或此直线恒过一个定点，且这个定点在圆内。）2)19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a，b即可．（2）设直线l的方程，A，B，P坐标，|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．|AB|==．=≥．即可求得椭圆C率心率e的取值范围【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆的标准方程为=1．（2）设直线l的方程为：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．P（）|PF|=．联立，化为：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．∴y1+y2=﹣，y1?y2=，∴|AB|==．∴=≥．令，?b2t2﹣2cbt+c2≥0，上式在t≥1时恒成立，∴椭圆C率心率e的取值范围为（0，1）20.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,－5)，点M的极坐标为，若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径.（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线与圆C的位置关系.参考答案：解析：（1）直线的参数方程：（为参数），则（为参数），点的直角坐标为，圆方程，且，代入得圆极坐标方程；（2）直线的普通方程为，圆心到的距离为，∴直线与圆相离．

21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，PC=PD=，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF?平面BFD，PC?平面BFD，所以PC∥平面BED．…（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO?平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．

…22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（x）=2sin2x+sin（2x﹣B）（x∈R）的最大值．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和和差角的三角函数公式可得cosB，可得角B；（Ⅱ）由（Ⅰ）和三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣），易得函数最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（A+C），∴由正弦定理可得sinBc