2022年上海宛平中学高三数学理测试题含解析

2022年上海宛平中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量满足，，，，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.设，，，则（）A.

B.

C．

D.参考答案：A3.如图,已知抛物线焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该椭圆的离心率为

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：A4.将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（

）A.

B.

C.0

D.参考答案：B5.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知函数f（x）=sin（2x+），则要得到函数f（x）的图象只需将函数g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+ B．10+ C．6+2+ D．6++参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．PC=2，PB=，BC=．∴S△PBC==．该几何体的表面积S=++++=6+．故选：C．9.已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣e B．a＞1 C．a＞e D．a＜﹣3或a＞1参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：由ax+elnx=，整理得：a+=，令h（x）=，且t=h（x），则t2+（a﹣1）t﹣a+1=0，求导h′（x）==0，解得：x=e，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，由题意可知方程有一个根t1在（0，1）内，另一个根t2=1或t2=0或t2∈（﹣∞，0），当t2=1方程无意义，当t2=0时，a=1，t1=0不满足题意；则t2∈（﹣∞，0），由二次函数的性质可知：，即，解得：a＞1，故选：B．【点评】本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．10.当点到直线的距离最大时，m的值为（

）A.3 B.0 C.－1 D.1参考答案：C【分析】求得直线所过的定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于列方程，由此求得的值.【详解】直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

参考答案：答案：90°12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.参考答案：略13.若圆与圆的公共弦AB的长为，则圆C2上位于AB右方的点到AB的最长距离为_________．参考答案：1【分析】将两圆方程相减可得出公共弦AB的方程，求出圆的圆心到直线AB的距离，结合点到直线的距离公式求出正数的值，【详解】将圆与圆相减可得公共弦AB所在直线的方程为，所以，圆的圆心到直线AB的距离为，即，，可得，则直线AB的方程为.因此，圆上位于AB右方的点到AB的最长距离.故答案为：1.【点睛】本题考查利用相交弦长求参数，同时也考查了圆上一点到直线的距离最值的计算，考查计算能力，属于中等题.14.设满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最大值为

.

参考答案：415.若，则=．参考答案：﹣311

考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311，再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1，相乘，即得所求．解答：解：∵，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311．再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1．两式相乘可得=﹣311，故答案为﹣311．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数，是解题的关键，属于中档题．16.设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为__________．参考答案：略17.设定义在的函数的图象的两个端点为.是图象上任意一点,其中，且,若不等式恒成立,则称函数在上“阶线性近似”.若函数与在上有且仅有一个“阶线性近似”,则实数的取值范围为 ________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD⊥AB，△CDE是边长为2的等边三角形，AB=5．沿CE将△BCE折起，使B至B′处，且B′C⊥DE；然后再将△ADE沿DE折起，使A至A′处，且面A′DE⊥面CDE，△B′CE和△A′DE在面CDE的同侧．（Ⅰ）求证：B′C⊥平面CDE；（Ⅱ）求平面B′A′D与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）在原平面图形中，利用根据变的关系利用勾股定理得到BC⊥CE，即立体图中B′C⊥CE，结合已知B′C⊥DE，利用线面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以C为原点，CE为y轴，CB为z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面B′A′D与平面CDE的法向量，利用法向量所成角的余弦值得平面B′A′D与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在直角梯形ABCD中，由，△CDE是边长为2的等边三角形，AB=5，得：AD=，，CE=2，BE=4，所以．即B′C⊥CE，又B′C⊥DE，DE∩CE=E，所以B′C⊥平面CDE．（Ⅱ）解：以C为原点，CE为y轴，CB为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），，D（），E（0，2，0）作A′H⊥DE，因为面A′DE⊥面CDE，所以A′H⊥面CDE，且．在平面图形中可求解得：，所以．易知面CDE的法向量，设面PAD的法向量为，且，．由，则，取y=2，得，所以．所以．所以平面B′A′D与平面CDE所构成的锐二面角的余弦值为．19.（本小题满分12分）若向量mn=,在函数m·n+的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当时,的最大值为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调递增区间.参考答案：解:由题意得m﹒n+(1)∵对称中心到对称轴的最小距离为，的最小周期，当时，

.Ks5u（2），解得：，所以函数的单调递增区间为略20.已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求证数列中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和满足，这样的等比数列有多少个？参考答案：解：（1）当时，，则.

又，，两式相减得，

是首项为1，公比为的等比数列，

--------------------------------------------------------4分

（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为

则，

（*）

又

*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立

假设不成立

原命题得证.------------------------------------------------8分

（3）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为，

且满足，

则

又

整理得：

①

将代入①式整理得

经验证得不满足题意，满足题意.

综上可得满足题意的等比数列有两个.21.已知，，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）若方程f（x）=在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f（x）=sin（2x﹣），利用正弦函数的对称性即可得解．（Ⅱ）由条件知，且，可求，利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：（Ⅰ）=，令，得，即y=f（x）的对称轴方程为，（k∈Z）．（Ⅱ）由条件知，且，易知（x1，f（x1））与（x2，f（x2））关于对称，则，∴．22.（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．参考答案：【考点】不等式的证明．【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+