2022山东省济南市平阴县第一中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022山东省济南市平阴县第一中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则“”是“”的（

）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】,又，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2.下列关于函数的判断正确的是

（

）

①

②是极小值，是极大值

③有最小值，没有最大值

④有最大值，没有最小值

A．①③

B．①②③

C．②④

D．①②④参考答案：A略3.设i是虚数单位，则复数的虚部是()参考答案：B略4.已知是定义在R上的奇函数，且当x>0对，

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：【知识点】奇函数的性质；分段函数的应用.

B4C

解析：因为，所以，故选C.

【思路点拨】根据奇函数的性质，以及分段函数的函数值的意义求解.

5.若随机变量X~B(100,p)，X的数学期望EX=24，则p的值是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C6.已知为R上的可导函数，且满足，对任意正实数，下面不等式恒成立的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.A．2i

B．－2i

C．2

D．-2参考答案：A故选A.

8.已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知正项等比数列=

（

）

A．

B．2

C．4

D．参考答案：A10.函数的单调增区间是A.(－∞,2]B．[0,2]C．[2,4]D．[2,+∞)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为

参考答案：4略12.函数在x=1处连续，则实数m=(A)；

(B)；

(C)；

(D)参考答案：D13.若满足约束条件：；则的取值范围为

。参考答案：[-3,0]14.（理科）对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a满足的范围是

参考答案：[－1,5]15.函数为奇函数，则增区间为

参考答案：略16.已知实数x，y满足不等式组，则该不等式组表示的区域面积为______．参考答案：3【分析】画出可行域，进而数形结合可得解【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则，，，则三角形的面积，故答案为：3.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式组的可行域，属于基础题.17.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④对应的曲线中存在“自公切线”的有

．参考答案：②③【考点】直线与圆锥曲线的关系；命题的真假判断与应用．【专题】新定义．【分析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．【解答】解：①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2﹣|x|=，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于，即x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为②③．【点评】正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．【解答】解：（1）当a=﹣2时，函数f（x）=x3+x2﹣2x+b则f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，则函数y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函数，在（，﹣）上是减函数，由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣；故实数b的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），与曲线C联立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故点B的横坐标为xB=﹣（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．19.已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|PA|?|PB|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程转为ρ2=2ρcosθ+3，将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，能求出直线l的参数方程．（2）将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得，设方程两根分别为t1，t2，利用韦达定理及弦长公式能求出|AB|及|PA|?|PB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴ρ2=2ρcosθ+3，将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，得x2+y2=2x+3，即x2+y2﹣2x﹣3=0．∵直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，则直线l的参数方程为，即（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得，设方程两根分别为t1，t2，则，∴AB的长|AB|=|t1﹣t2|===，|PA|?|PB|=|t1t2|=3．20.（本小题满分10分）已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(Ⅰ)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(Ⅱ)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．参考答案：y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．

21.(本题满分10分)设函数。（Ⅰ）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求实数a的取值范围。参考答案：（Ⅰ）由题意可得可化为，即，解得。

··········

5分（Ⅱ）令，

22.一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数ξ的概率